El concepto de saber

En la TO, el saber es teorizado como una síntesis evolutiva culturalmente codificada de acción y reflexión (Radford, 2014b). En esa definición, la expresión síntesis se usa para sugerir que el saber sintetiza la producción histórica de determinada cuestión por la actividad humana. Esa síntesis es evolutiva porque está siempre en transformación (Radford, 2014b). Finalmente, que tal síntesis evolutiva sea culturalmente codificada significa que el saber puede ser pensado "como una forma ideal de acciones [...] [que] va más allá de cada una de sus instancias o realizaciones concretas" (Radford, 2017d, p. 103).

A modo de ejemplo de lo que significa el saber en la TO, imagínese una clase de matemáticas de educación básica, en la que el profesor solicita a sus alumnos resolver la tarea de construir un triángulo isósceles de lados 4 cm y 6 cm con regla y compás. Como el lector podrá notar, esa tarea geométrica posee, por lo menos, dos soluciones posibles: 1) cuando los lados congruentes del triángulo miden 4 cm y 2) cuando esos lados miden 6 cm. A pesar de que ambas soluciones son diferentes, lo que interesa destacar es que es posible aplicar una misma secuencia de acciones para obtenerlas:

1. Localizar el primer vértice del triángulo A en cualquier lugar del plano

2. Dibujar una circunferencia centrada en A, de radio alguna de las medidas dadas

3. Localizar el segundo vértice B en cualquier lugar de esa circunferencia

4. Dibujar otra circunferencia, centrada en B y de radio igual a la segunda medida dada

5. Obtener una de las intersecciones de las dos circunferencias, resultando en el punto C

6. Dibujar el triángulo ABC.

Para la TO, lo que está por detrás de esa secuencia común de acciones es un saber geométrico, constituido de forma histórica y cultural por la actividad humana. Específicamente, se trata de un saber sobre la construcción de un triángulo isósceles a partir de cualquier par de medidas, constituido a lo largo del desarrollo de la geometría euclidiana. En efecto, el saber referido es una síntesis evolutiva culturalmente codificada de acción y reflexión sobre cómo construir triángulos isósceles con esas características, cuyo origen proviene de los Elementos de Euclides (Libro I, Prop. 22).

Dialéctica del saber

Entendido el saber como una forma ideal de acciones, ¿qué significa que este vaya más allá de cada una de sus instancias concretas? Lo anterior implica que, en el ejemplo expuesto, las dos soluciones a la tarea no muestran el saber geométrico referido anteriormente, pero sí dos manifestaciones concretas (diferentes) de ese saber. En otras palabras, ese saber fue materializado de dos formas, revelando así el conocimiento que de aquel se posee. En la TO, el conocimiento es teorizado como la actualización o materialización del saber (Radford, 2013). Por lo tanto, las dos soluciones a la tarea del ejemplo corresponden a dos conocimientos diferentes de un mismo saber geométrico. No obstante, y como puede constatarse, cada uno de esos conocimientos no puede (por sí mismo) abarcar el saber que materializa en su totalidad. De allí que el saber vaya más allá de sus instancias o realizaciones concretas.

Contrario a otras perspectivas teóricas que los consideran como iguales o equivalentes, los conceptos de saber y conocimiento son diferentes según la TO, pero vinculados por medio de una relación dialéctica (véase figura 1). En esa relación, el saber (S) es puesto en movimiento por la actividad humana (simbolizada por las flechas), que lo materializa en una de sus instancias concretas, esto es, en el conocimiento (C) de ese saber en determinado momento de la historia. Revelado a su cons-ciencia, los individuos tienen la posibilidad de manipular ese conocimiento concreto para refinar y transformar el saber inicial en un nuevo saber (S'). Ese nuevo saber, convertido en entidad general, puede ser materializado en nuevas actividades humanas, resultando en un nuevo conocimiento (C') vinculado a ese saber, y así por delante (Radford, 2017d).

Figura 1: Relación dialéctica entre saber y conocimiento

Fuente: Radford (2017d, p. 110).

Conforme lo ilustra la relación dialéctica de la figura 1, el saber es movilizado y materializado solo a través de la actividad humana. En efecto, Radford afirma que "la producción/reconocimiento del saber es de hecho un fenómeno mediado. El saber es creado y recreado apenas a través de una actividad sensorial cultural-histórica y puede entrar en existencia sensorial apenas en y a través de la actividad" (2017b, p. 251). En el contexto escolar, el referido autor sostiene que "[...] para aparecer [sensorialmente en el aula de clases], el saber cultural debe ser puesto en movimiento por los profesores y los estudiantes. Y la manera de ponerlo en movimiento, es a través de la actividad [...]" (Radford, 2019, p. 26).

Como puede notarse, la concepción de actividad es fundamental en la movilización de los saberes en la experiencia humana. Debido a ello, el concepto de labor conjunta (tal como se denomina la actividad en la TO) se aborda a continuación.

El concepto de labor conjunta

Para comprender el concepto de labor conjunta, conviene traer a discusión la concepción materialista dialéctica de actividad sobre la cual reposa esta idea.

La estructura y momentos de la labor conjunta

Según Radford (2017a), la estructura de la labor conjunta posee dos componentes, expresadas como O y 0, vinculadas con la planificación de la clase y su posterior ejecución, respectivamente. Por un lado, la componente <í> está relacionada con el proyecto didáctico del profesor. Ese proyecto didáctico, como cualquier otro, posee una intencionalidad pedagógica que el profesor desea lograr a través de la actividad matemática de la clase. Es así como la labor conjunta posee un objeto, esto es, el producto (material, conceptual, etc.) que el profesor y los alumnos producen conjuntamente para lograr la intencionalidad pedagógica de la clase (Radford, 2015). Para que la labor conjunta se oriente a su objeto, se torna conveniente definir una o más metas que pueden ser atendidas por medio de la exploración de tareas específicas, presentadas (si fuere el caso) mediante una secuencia de problemas con dificultad creciente (Radford, 2017a).

Por otro lado, la componente 0 está asociada al despliegue de la labor conjunta propiamente dicha, en atención al proyecto didáctico de la componente $. En ese sentido, la labor conjunta se estructura básicamente por: 1) el profesor y sus alumnos, 2) una tarea con la que es posible orientar la actividad hacia su objeto, 3) un saber movilizado mientras la tarea es explorada, 4) un conjunto de medios (signos y artefactos) usados para resolver la tarea, y 5) la producción de una obra común, como resultado de la actividad (véase figura 2).

Figura 2: Estructura de la labor conjunta

Fuente: adaptada de Radford (2017a, p. 126).

Según Radford (2017a), la labor conjunta del aula no puede determinarse por anticipado, pero sí es posible poseer una idea de cómo alumnos y profesores se implicarán en ella. Por ende, en la TO se identifican momentos de la labor conjunta (Radford, 2017a). En el primer momento, el profesor presenta la tarea que deberá ser resuelta en la clase. En el segundo, los alumnos se reúnen en pequeños grupos para explorar la tarea propuesta. En el tercero, el profesor visita cada grupo para hacer preguntas a los alumnos, atender sus dudas, realimentarles, etc. En el cuarto, el profesor invita a los grupos de alumnos a presentar, discutir o criticar el trabajo desplegado hasta el momento, mediante discusión en gran grupo. La clase podría finalizar en ese momento o continuar el trabajo en pequeños grupos.

Labor conjunta 1: resolución de TIGD

La resolución de TIGD se asume como una labor conjunta de resolución (LCR), esto es, una labor conjunta en la que un formador y un conjunto de profesores se empeñan conjunta, intelectual y emocionalmente en la exploración de una TIGD para producir la investigación de una propiedad geométrica. Según esta definición, la LCR puede configurarse según el modelo ilustrado en la figura 2 y estructurarse conforme se explica a continuación.

De acuerdo con la componente <í> de su estructura, el objeto de la LCR es llevar a los profesores a pensar sobre la resolución de TIGD como una de las varias actividades que coadyuva al profesor en la planificación de la enseñanza. Para orientar la LCR a ese objeto, podría definirse como meta invitar a los docentes a resolver tareas de ese tipo.

En lo que respecta a su componente 0, la LCR está compuesta por un conjunto de sujetos, saberes, tareas, entre otros elementos, característicos del contexto formativo en la que se inscribe. Así, tratándose de una formación continua de profesores de matemáticas, los sujetos que despliegan la LCR son un formador y un grupo de profesores. En función del proyecto pedagógico de esa labor conjunta, esos sujetos se involucran en la exploración de tareas dirigidas a la resolución de TIGD. Respecto a esas tareas, vale la pena resaltar dos cuestiones. Por un lado, conforme se dijo anteriormente, la resolución de TIGD implica el uso de SGD.² Por otro lado, esas tareas involucran el uso de objetos de aprendizaje (OA) elaborados con el software GeoGebra (Gutiérrez y Pazuch, 2018). Los OA se definen como recursos virtuales posibles de ser usados y reutilizados en apoyo al aprendizaje de una idea matemática, mediante interacciones en la forma de simulaciones o animaciones (Kalinke et al., 2015).

De acuerdo con las características de las TIGD, el software GeoGebra y los OA son dos de los medios que formador y profesores utilizan en una LCR para atender a las tareas propuestas. No obstante, no se descartan otros posibles medios (como papel, lápiz y lenguaje, entre otros) que podrían ser utilizados en una labor conjunta con esas características. De ese modo, la exploración de las tareas y medios descritos llevaría a formador y profesores a producir la obra común de una LCR, esto es, la investigación de una propiedad geométrica usando SGD.

Saber sobre cómo resolver TIGD

El primer saber de interés es aquel movilizado para producir la obra común de una LCR: se trata de un saber sobre cómo resolver TIGD. En general, este saber está vinculado a las formas ideales, reportadas en la literatura especializada, en las que esas tareas son exploradas. Esas formas ideales tienen su origen en las nuevas posibilidades que las tecnologías digitales (TD) ofrecen para hacer matemáticas en el aula (Borba et al., 2018). En efecto, la llegada de las TD en general y de los SGD en particular, en el escenario educativo, generaron nuevos tipos de tareas, muchas de las cuales solo podrían explorarse usando SGD (Laborde, 2001). A partir de las implicaciones que trajeron esas tecnologías al aula, diversos investigadores han estudiado la resolución de TIGD en diferentes contextos educativos y la variedad de fenómenos que de estos emergen, llegando a conclusiones relativamente similares en lo que respecta a la forma en como se resuelve ese tipo de tarea usando TD.

Así, una forma ideal en que las tareas de geometría dinámica son resueltas implica el desarrollo de los siguientes cuatro procesos matemáticos (Christou et al., 2005):

1. Explorar: en este proceso se interactúa con un OA para construir imágenes de la situación propuesta en la tarea, ayudando a explorar visualmente esa situación y reflexionar sobre ella;

2. Conjeturar: luego de la exploración inicial, se establecen conjeturas sobre invariancias geométricas que observan en la reproducción del OA en la pantalla del computador;

3. Experimentar: posteriormente, se comprueban (confirman o niegan) las conjeturas geométricas establecidas, usando para ello las herramientas características de los SGD, como la medición (Olivero y Robutti, 2007) y el arrastre de objetos geométricos (Arzarello et al., 2002).

4. Generalizar: finalmente, se realizan esfuerzos para justificar las conjeturas testadas, tomando como base los saberes geométricos objetivados, pudiendo ser concretadas pruebas formales si fuere el caso (Marrades y Gutiérrez, 2000).

Considerando lo anterior, el saber sobre cómo resolver TIGD en una LCR se define como una síntesis evolutiva culturalmente codificada de acción y reflexión que implica el despliegue de los procesos matemáticos de explorar, conjeturar, experimentar y generalizar, usando SGD para la investigación de propiedades geométricas.

Saber sobre cómo analizar TIGD

El segundo saber de interés es aquel movilizado al desplegar una LCR. Específicamente, se trata de un saber sobre cómo analizar TIGD, el cual se fundamenta en dos referentes teóricos. Por un lado, en la clasificación de tareas matemáticas propuesta por Yeo (2007), en la que se define una amplia gama de tipos de tareas según cuatro criterios, a saber: su naturaleza, características, propósitos de enseñanza y posibilidades de evaluación. Así, según el referido autor, analizar tareas matemáticas considerando su naturaleza podría resultar en una variedad de tipos de tareas: procedimentales, prácticas, de resolución de problemas, de proposición de problemas y de investigación matemática.

Por otro lado, este segundo saber se fundamenta en el marco para el análisis de tareas de geometría dinámica (Trocki y Hollebrands, 2018). Ese marco desarrollado para evaluar la calidad de dichas tareas tiene dos partes: una, relativa al dominio matemático de la tarea y otra, a las acciones tecnológicas que se ejecutan para resolverla (véase cuadro 1).

Cuadro 1: Marco para el análisis de tareas de geometría dinámica

Fuente: adaptado de Trocki y Hollebrands (2018, p. 123).

Como puede observarse en el cuadro 1, cada parte del marco posee una serie de niveles vinculados a la profundidad de cada dominio. Cada nivel hace referencia a un prompt, esto es, una pregunta o dirección escrita relacionada con un dibujo (en la pantalla de un SGD) que demanda una respuesta verbal o escrita (Trocki y Hollebrands, 2018). Para efectos de este artículo, lo que interesa considerar de este marco son tanto los procesos matemáticos presentes en él como las acciones tecnológicas a que cada prompt hace referencia.

Por lo tanto, con base en lo expuesto, el saber sobre cómo analizar TIGD en una LCA se define como una síntesis evolutiva culturalmente codificada de acción y reflexión, que implica identificar las TIGD como tareas de investigación matemática y volverse consciente tanto de los procesos matemáticos involucrados en su resolución como de las acciones tecnológicas que caracterizan el uso de SGD para tal fin.

Saber sobre cómo diseñar TIGD

Finalmente, un tercer saber de interés es aquel que es movilizado para producir la obra común de una LCD. Específicamente, se trata de un saber sobre cómo diseñar TIGD. Para entender ese saber, es necesario considerar que las TIGD son, antes que nada, tareas de geometría dinámica, lo que significa que la naturaleza de tales tareas está en simbiosis con el diseño y las potencialidades de la tecnología que es utilizada para ser exploradas (en ese caso, un SGD) (Borba et al., 2018). De allí que diversos autores consideren las TD como herramientas que transforman la actividad de la clase de matemáticas, siempre que no sean subutilizadas (Borba y Villarreal, 2005; Hoyles, 2018).

Buscando evitar esa subutilización, Borba et al. (2018) destacan un conjunto de aspectos que caracterizan la exploración de tareas matemáticas mediadas por TD, basada en abordajes experimentales e investigativos. Así, de acuerdo con esos autores, las tareas matemáticas de ese tipo deben (entre otras cuestiones) favorecer los siguientes aspectos:

• Generación de conjeturas matemáticas

• Creación y simulación de modelos matemáticos

• Manipulación dinámica de objetos construidos

• Realización de comprobaciones de conjeturas usando un gran número de ejemplos

• Convencimiento sobre la veracidad de conjeturas

• Elaboración de nuevos tipos de problemas y construcciones matemáticas

• Exploración de diversas formas de resolución.

Teniendo en cuenta lo anterior, el saber sobre cómo diseñar una TIGD en una LCD se define como una síntesis evolutiva culturalmente codificada de acción y reflexión que implica ser consciente de que la tarea por elaborar debe favorecer el desarrollo de los aspectos que caracterizan la exploración de tareas matemáticas mediadas por TD, y considerar esos aspectos para tal fin.