Introducción

El objetivo del presente artículo es presentar un estudio llevado a cabo en el ámbito de la fase epistemológica de la teoría de la mate- mática en el contexto de las ciencias (_TMCC), que se detallará más adelante, y que condujo a una intervención didáctica diseñada para ser implementada en una asignatura inicial de cálculo diferencial e integral. Esta intervención tiene como propósito retomar el estudio de las funciones a partir de un problema contextua- lizado de la ingeniería civil.

Este trabajo surge como respuesta a las demandas surgidas de las discusiones realiza- das en el Grupo de Trabalho Ciências Básicas e Matemática na Engenharia (GT-C_BME), vinculado a la Associação Brasileira de Educa- ção em Engenharia (_ABENGE). Entre los desafíos identificados en estas discusiones, se destacó la necesidad de involucrar a los docentes en la creación de materiales didácticos contex- tualizados para las asignaturas de Ciencias Básicas y Matemáticas en la Ingeniería, a partir de problemas relacionados con las diversas áreas de la ingeniería. Esta preocupación se centra en la mejora de la calidad de la edu- cación en ingeniería y en la motivación de los estudiantes, en consonancia con las Directrices Curriculares Nacionales (_DCN) para cursos de ingeniería en Brasil (2019).

Las reflexiones presentadas en este artícu- lo se centran específicamente en la necesidad de proporcionar oportunidades para que los estudiantes, al ingresar a los cursos, revisen los conocimientos básicos que serán requisitos previos para la formación del futuro ingeniero.

Se presenta un estudio realizado utilizando la fase epistemológica de la _TMCC con el objetivo de desarrollar una intervención didáctica que, al aplicarse en una asignatura inicial de cál- culo diferencial e integral dentro del currículo de un curso de ingeniería civil, permita al alumno repasar aspectos relacionados con el estudio de las funciones reales de una variable real, con un enfoque dirigido a la educación superior y a las aplicaciones que encontrará en las materias específicas del curso y en su futuro desempeño profesional.

Metodología

La pregunta de investigación que buscamos abordar en este artículo es la siguiente: ¿cómo, apoyados en los procedimientos me- todológicos de la fase epistemológica de la _TMCC, podemos desarrollar una intervención didáctica a partir de un problema específico de ingeniería civil, con el potencial de permitir a los principiantes en un curso de ingeniería revisitar las funciones reales de una variable real, con un enfoque orientado a la educación superior y las aplicaciones que encontrarán en las asignaturas específicas del curso y en su futuro desempeño profesional, así como enfrentar y minimizar los obstáculos epistemo- lógicos y las dificultades cognitivas asociadas a este concepto matemático?

Para abordar esta pregunta, realizamos inicialmente un estudio bibliográfico de natu- raleza cualitativa, guiado por los procedimien- tos metodológicos de la fase epistemológica de la _TMCC, que incluyen las etapas presenta- das en la tabla 1.

Tabla 1: Procedimientos metodológicos de la fase epistemológica de la TMCC

Fuente: elaboración propia.

Como resultado de este estudio bibliográfico, detallado en este artículo, hemos elaborado una intervención didáctica que también será explicada en el texto. Antes de abordar cada una de las siete etapas mencionadas, realizaremos algunas consideraciones generales sobre la _TMCC.

Marco teórico: la teoría de la matemática en el contexto de las ciencias

Tras considerar, como aparece en Lima et al. (2018), que la mayoría de las teorías educativas se desarrollaron originalmente con un enfoque en temas relacionados con la enseñanza y el aprendizaje en la escuela básica, y que el nivel universitario tiene problemas y elementos específicos que lo caracterizan, la investigadora del Instituto Politécnico Nacional de México, Patricia Camarena, comenzó a elaborar un marco teórico específicamente dirigido a la enseñanza de la matemática en la universidad desde 1982. Este enfoque está diseñado especialmente para cursos en los que las matemáticas tienen un papel fundamental, como es el caso de la ingeniería. Los objetivos principales de la _TMCC son establecer conexiones entre las matemáticas y otras disciplinas científicas, así como con las situaciones que los ingenieros enfrentan en su práctica profesional. Siguiendo este marco teórico, según Camarena (2017), se buscan indicios de respuestas a las preguntas planteadas en la figura 1.

Figura 1: Preguntas a las que se busca respuesta en el TMCC

Fuente: elaboración propia

Con relación específica a la última pregunta, es importante aclarar que, al re ferirse al conocimiento integral, Camarena (2013b) indica que este se relaciona con las capacidades de un estudiante para construir conocimiento, incluyendo: relacionarlo con lo previamente aprendido, abordarlo de manera interdisciplinaria en lugar de forma aislada y fragmentada, integrar conocimientos teóricos con los derivados de la práctica, y transferir los conocimientos adquiridos en la universidad a su futura actividad profesional.

Asimismo, el concepto de competencia en el ámbito de la _TMCC, según Camarena (2011), se refiere a “la base del futuro profesional para afrontar una situación problemática mediante la integración de todos sus conocimientos, habilidades, actitudes y valores que se movili zan en sus estructuras cognitivas” (Camarena, 2011, p. 114. Énfasis nuestro).

Según Camarena (2013a) , la _TMCC se organiza como un sistema complejo que permite abordar los diferentes aspectos del ambiente de aprendizaje. Este sistema consta de cinco subsistemas, o fases de la teoría (curricular, didáctica, epistemológica, docente y cognitiva), que están interrelacionados con las condiciones sociológicas de los actores en el proceso educativo. En este trabajo, nos enfocamos únicamente en los aspectos relacionados con la fase epistemológica de la teoría, la cual utilizamos en la construcción de la intervención presentada. En esta fase, buscamos comprender cómo se conectan los conceptos matemáticos con los de otras disciplinas, como la ingeniería.

En cuanto a las otras fases, nos centramos únicamente en lo presentado en la tabla 2, basados en los planteamientos de Lima et al. (2019). Para una comprensión más detallada, sugerimos la lectura de obras como las de Camarena (2010), 2013a, 2013b) y Lima et al. (2016) .

Tabla 2: Breve descripción de las fases curricular, didáctica, docente y cognitiva de la TMCC

Fuente: elaboración propia a partir de Lima et al. (2019).

Como señala Camarena (2013a) , de manera simbiótica, tanto los contextos de otras ciencias dan sentido a los conceptos matemá- ticos, como estos también otorgan significado a los conceptos insertados en los contextos de otras ciencias.

Los resultados obtenidos en los análisis realizados en la fase epistemológica son los que posibilitan la construcción de materiales didácticos que se utilizarán para llevar a cabo un abordaje contextualizado de la matemática en una carrera específica. Según Camarena y González (2001), y Camarena (2012), para esta construcción se emplea, desde un punto de vista metodológico, una secuencia de procedimientos analíticos utilizando diversos tipos de textos como fuentes, como se detalla en la siguiente sección.

Procedimientos para preparar la intervención didáctica

Para el diseño de la intervención didáctica con el propósito de revisitar el estudio de las funciones reales de una variable real, con un enfoque dirigido a la edu- cación superior y las aplicaciones que el alumno encontrará en las asignaturas específicas del curso y en su desempeño futuro profesional, seguimos las siguien- tes siete etapas. Es importante destacar que en los pasos (v) y (vii) se consideran los antecedentes de esta investigación, particularmente en lo que respecta a los obstáculos epistemológicos y las dificultades cognitivas relacionadas con la noción de función.

(I) Identificar un contexto específico de ingeniería civil que requiera la movilización de nociones relacionadas con el concepto de función real de una variable real

Al contrario de lo recomendado en la fase epistemológica de la _TMCC, esta identificación no se basó en el análisis de los libros habitualmente utilizados en las asignaturas específicas (no matemáticas) que conforman el currículo de la carrera. En el caso particular descrito en este artículo, el contexto nos fue presentado por dos ingenieros civiles, quienes plantearon un problema clásico —el análisis dinámico de un pórtico— del análisis dinámico de estructuras, destacando su relevancia para contextualizar el enfoque de la matemática en la carrera de ingeniería civil.

(II) de una referencia bibliográfica relacionada con el contexto identificado para comprender cómo se moviliza la noción matemática pretendida

Una vez planteado el problema, procedemos a analizar una referencia biblio- gráfica sobre este tema: el libro Lições em Mecânica das Estruturas de Mazzilli et al. (2016).

Es importante destacar que el análisis dinámico de estructuras, “que se ocupa de la formulación y solución de las ecuaciones de movimiento de siste- mas estructurales, en presencia de perturbaciones cinemáticas en su configura- ción de equilibrio o de acciones que varían en el tiempo” (Mazzilli et al., 2016,p. 26), no es un contexto de interés exclusivo para estudiantes de ingeniería civil. Según los autores del libro analizado, las herramientas desarrolladas para resolver problemas fundamentales en este dominio pueden ser igualmente útiles en cursos de ingeniería mecánica, meca- trónica, naval, química, minas, aeronáutica y aeroespacial, así como en muchos otros donde se requiera el análisis de sistemas estructurales (p. 12). Además, señalan que “el análisis dinámico de estructuras es cada vez más necesario en los proyectos de In- geniería, ya que los sistemas estructurales se vuelven más delgados y susceptibles a vibraciones” (p. 26).

El problema planteado por los ingenieros civiles se asemeja a algunas de las situaciones discutidas en el capítulo 4, titulado “Vibracio- nes libres en sistemas de un grado de libertad”. Se relaciona específicamente con el caso de un pórtico de un piso en situación de vibración libre subamortiguada, es decir, la estructura, con un cierto índice de amortiguamiento, es sometida a una fuerza estática, lo que provoca un desplazamiento inicial, que posteriormente es retirado abruptamente, lo que provoca que la estructura comience a vibrar libremente con velocidad inicial cero.

Al analizar el enfoque propuesto por Ma- zzilli et al. (2016) para este tipo de situaciones y tras considerar el alcance de una asignatura inicial de cálculo, identificamos la presencia de las siguientes nociones relacionadas con el estudio de la función real de una variable real: el concepto de función, dominio, imagen, representación gráfica, diferentes tipos de fun- ciones elementales (especialmente funciones trigonométricas y exponenciales), operaciones (adición, multiplicación y composición) y trans- formaciones (translación, reflexión, expansión y contracción) con este tipo de funciones, máximos y mínimos locales de funciones trigonométricas, y funciones dadas por la multiplicación de una función exponencial por una función trigonométrica.

(III) Análisis de los programas de las asignaturas de matemáticas incluidas en el plan de estudios de ingeniería civil para comprender cómo se retoma la noción de función al principio de este curso

En la fase epistemológica de la _TMCC se reco- mienda realizar un análisis de los programas de las asignaturas de matemática presentes en la carrera en cuestión (en nuestro caso, ingeniería civil) con el fin de comprender cómo se prevé el tratamiento del tema y en qué asignaturas se aborda. En el caso de la investigación reportada en este artículo, ana- lizamos en qué asignaturas de los cursos de ingeniería civil que ofrecen las instituciones en las que operamos se espera retomar el estudio de funciones.

En el Instituto Mauá de Tecnología (iMT), se revisan las funciones reales de una variable real al inicio de la asignatura Cálculo Diferen- cial e Integral 1, la cual es anual y se imparte en el primer año de la carrera con una carga de trabajo de 160 horas. Según el proyecto pedagógico, el objetivo de esta asignatura es presentar al alumno un tratamiento matemáti- co dedicado exclusivamente al estudio de dos grandes áreas de extrema importancia en la ingeniería: la tasa de variación de cantidades, objeto de estudio del cálculo diferencial, y la acumulación de cantidades, explicada por el cálculo integral. El dominio de estas herra- mientas es fundamental para el ingeniero, ya que este profesional necesita realizar balances, análisis de variación, determinación de áreas, volúmenes y otras acumulaciones.

Por otro lado, en la Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP), se recuperan las nociones relacionadas con el estudio de la función en una asignatura también deno- minada Cálculo Diferencial e Integral 1, con una carga horaria de 72 horas. A diferencia del Instituto Mauá de Tecnología, esta asignatura se imparte en el segundo semestre del curso. Según el Proyecto Pedagógico, el objetivo específico de esta asignatura es conducir gradualmente al alumno, a lo largo del desarrollo de la asignatura, a: 1) desarrollar habilidades para ser capaz de identificar el objeto función en sus distintas representaciones;

2) adquirir conceptos y técnicas para determinar límites y manejar cuestiones relacionadas con la derivada e integral, y 3) construir modelos matemáticos para resolver problemas que involucren optimización, áreas y volúmenes.

(IV) Análisis del orden epistemológico relacionado con la función de objeto con el fin de comprender cómo se produjo su desarrollo histórico

Según Ponte (1990, p. 5), “la noción de función no apareció por casualidad en las matemáticas. Surgió, como tan bien demostró Bento Caraça (1951), como el instrumento matemático indispensable para el estudio cuantitativo de los fenómenos naturales, iniciado por Galileo (1564-1642) y Kepler (1571- 1630)”. De acuerdo con el mismo autor, se considera uno de los conceptos más importantes de toda la matemática, ya que es la base del cálculo, un área clave en el desarrollo de las matemáticas contemporáneas. La noción de función se desarrolló de manera articulada en la búsqueda de explicar problemas físicos matemáticamente, relacionados, entre otros, con la conducción del calor, la caída libre y los movimientos de los planetas. Esto ocurrió especialmente por- que las funciones son “instrumentos por excelencia para estudiar problemas de variación” (Ponte, 1990, p. 5).

Hoy en día, sin embargo, las matemáticas están significativamente vinculadas no solo a la física; sus ámbitos de aplicación se han ampliado a “el estudio de fenómenos y situaciones en ciencias de la vida, ciencias humanas y sociales, gestión, comunicación, ingeniería y tecnología, constituyendo un medio de des- cripción, explicación, predicción y control” (Ponte, 1990, pp. 5-6). La aplicación de las matemáticas como herramienta analítica en diferentes ámbitos es posible, esencialmente, gracias a la noción de modelo, ya que siempre es “de gran interés estudiar los efectos de los distintos parámetros que influyen en la situación, lo que se hace de forma aún más eficiente cuanto más cerca se está de establecer una relación funcional entre cada uno de ellos y las variables fundamentales del modelo” (Ponte, 1990, pp. 5-6). La pertinencia de establecer una relación funcional entre las variables presentes en un determinado modelo revela que “la noción de función es de importancia central en el diseño y estudio de modelos, cualquiera que sea su naturaleza, y por tanto sigue siendo una noción clave en las matemáticas actuales” (Ponte, 1990, pp. 5-6).

(V) Identificar los obstáculos epistemológicos relacionados con el concepto de función

Para la construcción de materiales didácticos con el objetivo de contextualizar conceptos matemáticos en diferentes áreas, es importan- te, también en el dominio de la fase epistemo- lógica de la _TMCC, según Camarena y González (2001), y Camarena (2012), identificar los obstáculos epistemológicos, en el sentido de Brousseau (1983), relacionados con un determinado concepto. Tales obstáculos son “aquellos que no podemos ni debemos evitar por su papel constitutivo en el conocimiento objetivo. Pueden encontrarse en la historia de los propios conceptos” (Brousseau, 1983, p.178. Traducción propia). La necesidad, en la fase epistemológica, de apegarse a ellos, está plenamente justificada, ya que, para el citado autor, la identificación y caracterización de los obstáculos son fundamentales para construir y analizar situaciones didácticas. “La planifi- cación del aprendizaje, basada en el estudio del desarrollo del conocimiento en términos de obstáculos, se diferencia significativamente de la planificación clásica, especialmente en lo que respecta al papel y organización de las si- tuaciones problema, que serán fundamentales en este proceso” (Brousseau, 1983, p. 178).

Específicamente en el caso del objeto matemático función, dieciséis obstáculos epis- temológicos han sido estudiados y sintetizados en detalle por Sierpinska (1992). Superar estos obstáculos está ligado a la adquisición de condiciones para comprender la noción de función, como se explica en la tabla 3

Tabla 3: Obstáculos epistemológicos y condiciones para entender la noción de función

Fuente: elaboración propia a partir de Sierpinska (1992).

(VI) Análisis de los libros de texto utilizados en las asignaturas iniciales del cálculo diferencial e integral en los cursos de ingeniería

En cuanto a los libros de texto que se utilizan en las instituciones en las que ope- ramos para revisar el estudio de la función —que, como ya hemos señalado, se da en las asignaturas de Cálculo Diferencial e Integral 1, ya que el uso de dichos materiales no es obligatorio y son referenciados en los planes didácticos más como sugerencias para los alumnos—, se optó por analizar dos libros distintos señalados en las referencias básicas de la mencionada asignatura, uno de ca- rácter más tradicional y otro en el que se destaca un enfoque más aplicado de los contenidos. Son, respectivamente, Cálculo A (funciones, límite, derivación e integración), 6.a edición (2006), de autoría de Diva Marília Flemming y Miriam Buss Gonçalves (indicada en la PUC-SP) y Cálculo, 8.a edición (2017), escrito por James Stewart (nominado en iMT y PUC-SP).

Flemming y Gonçalves (2006) proponen una revisión del estudio de las funciones en el capítulo 2, al que dedican 48 páginas. Las autoras señalan, al comienzo del capítulo 2, que el objetivo es “introducir uno de los conceptos más fundamentales de la Matemática, el de función” (p. 12) y que solo tratan funciones reales de variable real. De acuerdo con ellas, el enfoque aborda pro- blemas que “muestran la importancia de estudiar funciones en diferentes áreas de conocimiento” (p. 12), en especial economía, y que “en el transcurso de los ejemplos es posible observar que el uso de recursos computacionales ayuda a visualizar las propiedades y características de las funciones” (p. 12).

El enfoque se inicia directamente con la presentación de la definición de función, dominio y contradominio, seguido de ejemplos y contraejemplos en los que se utiliza la representación de relaciones mediante diagramas de Venn. Luego, se presentan de nuevo, seguidas de ejemplos, las definiciones de ima- gen, del conjunto de imágenes y de gráfica. Es importante señalar que, en uno de estos ejemplos, las autoras afirman que “cuando trabajamos con subconjuntos de R, lo habitual es caracterizar la función solo por la fórmula o regla que la define” (p. 14). En nuestra opinión, si esta afirmación no es bien discutida por el profesor en clase, puede refor- zar uno de los obstáculos epistemológicos que se muestran en la tabla 3, a saber, el obstáculo

11. Encontramos que, de la página 12 a la página 23, salvo una aplicación de funciones en el contexto de una línea de producción para una determinada pieza, todos los conceptos revisados y los ejercicios propuestos contem- plan únicamente el contexto matemático.

Todos los ejercicios propuestos, desde el número 32 hasta el 36, abordan contextuali- zaciones en diferentes áreas de conocimiento de los conceptos trabajados. Esto se realiza a través de problemas bastante habituales en los libros de cálculo. En esta primera parte del enfoque de contenido, se proponen 36 ejercicios, de los cuales siete mencionan el uso de recursos tecnológicos.

Después de los ejercicios, las autoras inician una nueva sección en la que trabajan con lo que llaman funciones especiales: cons- tantes, identidad, función polinomial de primer grado, modular, función polinomial de segun- do grado y polinomial de cualquier grado, y racional. Luego, hacen consideraciones sobre funciones pares e impares, funciones periódi- cas y funciones inversas, y abordan lo que ellas llaman funciones elementales: exponencial, logarítmica, trigonométrica, trigonométrica inversa, hiperbólica e hiperbólica inversa. Todo este enfoque se realiza siguiendo la línea de definición y ejemplos utilizando únicamente el contexto matemático.

La parte teórica del capítulo 2 finaliza con un apartado titulado “Aplicaciones”. Luego, se presentan diez ejemplos de contextualización de la noción de función, ocho relacionados con la economía, uno con el crecimiento de la población y uno con la desintegración ra- diactiva. Al final del capítulo se proponen 59 ejercicios sobre todo el contenido trabajado. En diez de estos ejercicios hay una indicación para el uso de recursos tecnológicos. Relacio- nado con contextos que no son exclusivamente matemáticos, existen 15 problemas de áreas similares a las contempladas en los ejemplos en el apartado de “Aplicaciones” y, curiosa- mente, ninguno de ellos menciona el uso de tecnologías, aunque, en muchos, se solicita la construcción de representaciones gráficas.

Respecto al libro de Stewart (2017), en el prefacio, el autor destaca que el “énfasis está en la comprensión de los conceptos. Creo que casi todo el mundo está de acuerdo en que este debería ser el principal objetivo de la enseñanza de Cálculo” (Stewart, 2017, p. ix). También hay una preocupación del autor con la presentación, ejemplos y ejercicios presentes en el texto, con el uso de datos reales. En el prefacio, el autor también destaca el uso de tecnologías como recurso auxiliar para el uso del libro por parte de estudiantes y profesores.

Con relación específica al capítulo inicial, titulado “Funciones y modelos”, en el que se propone revisar el estudio de las funciones, aún en el prefacio, el autor afirma que, al abordar este tema,

desde el principio, se valora la multiplici dad de representaciones de una función: verbal, numérica, visual y algebraica. La discusión de modelos matemáticos condu ce a una revisión de las funciones usuales, incluidas las funciones exponenciales y logarítmicas, a través de estos cuatro puntos de vista. (p. xii)

También destacamos algunas palabras que Stewart dirige a los estudiantes que utilizan su texto. Afirma que, aunque algunos alumnos prefieren

ir directamente a ejercicios pasados como actividad para casa, consultando el texto solo cuando encuentran alguna dificultad, creo que leer y comprender todo el apartado antes de abordar los ejercicios es mucho más interesante. Debes prestar especial atención a las definiciones y comprender el significado exacto de los términos. (p. xx)

Además, da consejos al estudiante que, a nuestro juicio, están directamente relacionados con la potencialidad de que, en un curso de ingeniería, la matemá- tica también desempeña el papel de materia formativa, como destaca Camarena (2011). El autor afirma que “parte del objetivo de este curso es formarte para pensar con lógica. Trata de escribir las etapas de la resolución de manera arti- culada, paso a paso, con frases explicativas, y no solo una serie de ecuaciones y fórmulas desconectadas” (Stewart, 2017, p. xx).

La revisión del estudio de las funciones se realiza en el capítulo 1, titulado “Funciones y modelos”. Para ello, el autor asigna 63 páginas, organizadas en cinco secciones, una revisión y un tema titulado “Principios de resolución de problemas”. En consonancia con lo resaltado en el prefacio, el acercamiento al tema se inicia mediante una fotografía que ilustra la destrucción provocada por un terremoto en Japón en 2011 y una representación gráfica de la aceleración vertical del suelo provocada por ese terremoto.

En la primera sección, “Cuatro formas de representar una función”, a partir de situaciones en diferentes áreas que involucran una cantidad que depende de otra, el autor conceptualiza una función y destaca que trabajará con funciones reales de una variable real. Luego presenta las nociones esenciales relativas a la idea de función y de su gráfica. Estas nociones se ilustran mediante ejemplos que se encuentran comúnmente en los libros de texto y en un contexto estricta- mente matemático.

Se proponen 80 ejercicios; de estos, 29 son aplicaciones de conceptos trabajados en diferentes contextos. Tanto en cuestiones puramente matemáticas como en las de aplicación, el autor explora a fondo las representaciones gráfi- cas. No se menciona en este primer apartado el uso de recursos tecnológicos.

La segunda sección del capítulo, llamada “Modelos matemáticos: una lista de funciones especiales”, comienza con el concepto de un modelo matemático, la presentación de un esquema que ilustra el proceso de modelación matemática y la observación de que un modelo matemático “nunca es una representación completamente precisa de una situación, es una idealización” (p. 15. Énfasis del autor).

Luego, el autor comienza a discutir modelos lineales, utilizando ejemplos contextualizados de diferentes naturalezas: el primero, que trata de la tempera- tura del aire seco en función de la altitud, informa a priori que un modelo lineal describe adecuadamente el problema; el segundo, relacionado con los niveles promedio de dióxido de carbono en la atmósfera, es un ejemplo de lo que el autor llama un modelo empírico, construido completamente a partir de datos recopilados y utilizando la búsqueda de una curva que se ajuste mejor a los datos. En el planteamiento de este segundo ejemplo, se presenta inclu- so una discusión sobre un refinamiento del modelo mediante una regresión lineal que el autor sugiere realizar con la ayuda de una calculadora gráfica o software como Maple y Mathematica.

En el tercer ejemplo propuesto, se retoma la situación anterior para abordar el uso del modelo obtenido para realizar prediccio- nes. Esto exige recurrir a interpolaciones y extrapolaciones con relación al conjunto de datos previamente puesto a disposición. Los siguientes modelos discutidos en la sección son aquellos que el autor llama funciones potencia, que incluyen algunos casos de funciones polinomiales, la función raíz y la función recíproca —representada algebrai- camente por que, como se señaló, está presente en física y química en relación con la Ley de Boyle (siendo la temperatura cons- tante, el volumen de un gas es inversamente proporcional a la presión)—. Enseguida se definen funciones racionales (con ayuda de un único ejemplo puramente matemático) y funciones algebraicas, mencionando que un ejemplo de aplicación de este tipo de función está presente en la teoría de la relatividad en la que la masa de una partícula en relación con su velocidad se expresa mediante una función algebraica.

Luego, se aborda superficialmente el tema de las funciones trigonométricas, ya que se pretende dedicar un apartado completo a su revisión detallada —al analizar este material, nos percatamos de que la revisión propuesta es principalmente técnica y que solo se traba- jan y proponen situaciones puramente mate- máticas—. En esta sección, se examinan las funciones seno, coseno y tangente, se presentan sus dominios, imágenes, representaciones gráficas, y se resalta su carácter periódico. Con respecto a este aspecto particular, se destaca que “la naturaleza periódica de estas funciones las hace adecuadas para modelar fenómenos repetitivos, como las mareas, las cuerdas vibrantes y las ondas sonoras” (p. 22). La sección concluye con 32 ejercicios propuestos, 21 de los cuales son aplicaciones en diferentes contextos de las funciones trata- das. En 8 de estos 21 ejercicios de aplicación, se indica por parte del autor la necesidad de que el alumno utilice una calculadora gráfica o una computadora.

En la tercera sección del capítulo, titulada “Nuevas funciones a partir de conocidas”, el autor afirma que, a partir de las funciones básicas definidas en la sección anterior, se obtendrán nuevas funciones mediante des- plazamientos, ampliaciones o reflexiones de sus gráficas. Además, se discutirá cómo combinar funciones mediante operaciones aritméticas ordinarias y composiciones. En el tema de “Transformaciones de funciones”, se abordan las translaciones (desplazamientos verticales y horizontales), reflexiones y expan- siones horizontales y verticales. De los cinco ejemplos trabajados, solo uno no tiene un contexto puramente matemático (modelación de la duración de la luz solar en una ciudad de una latitud determinada). En el tema de “Combinaciones de funciones”, el autor exa- mina las operaciones aritméticas y la compo- sición entre funciones utilizando únicamente el contexto matemático. La sección concluye con 66 ejercicios propuestos, 11 de los cuales son aplicaciones en contextos no estrictamente matemáticos. En ninguno de los ejercicios se sugiere el uso de recursos tecnológicos.

En la sección de “Funciones exponen- ciales”, el autor define este tipo de función, revisa las propiedades de los exponentes y luego analiza algunas de sus aplicaciones.

Se destaca que este tipo de función se encuentra frecuentemente en modelos matemáticos de la naturaleza y de la sociedad, y que en este momento se abor- darán aplicaciones relacionadas con el crecimiento poblacional y la desintegra- ción radiactiva. En los otros capítulos se exploran más ejemplos de aplicaciones. Finalmente, cerrando el apartado, se proponen 38 ejercicios, de los cuales 16 requieren el uso de recursos tecnológicos. De estos 38 ejercicios, nueve tienen aplicaciones en contextos distintos de los puramente matemáticos.

La quinta sección del capítulo, titulada “Funciones inversas y logaritmos”, se introduce a partir de una situación relacionada con la población de un cultivo bacteriano. El apartado concluye con 77 ejercicios propuestos, cinco de los cuales se aplican en diferentes contextos. Entre los ejercicios propuestos, hay nueve en los que es necesario el uso de calculadoras gráficas o computadoras, y dos en los que se deben utilizar sistemas algebraicos computacionales.

Después de la quinta sección, se realiza una revisión de los conceptos trabajados en el capítulo. En esta parte se proponen 28 ejercicios, cuatro de los cuales son aplicaciones. Hay un ejercicio que requiere el uso de una calculadora gráfica o una computadora. El capítulo concluye con un tema denominado “Principios de resolución de problemas”, siguiendo las recomen- daciones de George Polya.

(VII)Análisis de los aspectos cognitivos relacionados con la noción de función

Esta etapa se enfoca en el análisis de los aspectos cognitivos relacionados con el contenido matemático que estamos abordando, en este caso, la función, con el objetivo de comprenderlos a partir de investigaciones y reflexionar sobre cuestiones cognitivas vinculadas al aprendizaje de determinados contenidos, así como sobre algunas barreras que enfrentan los estudiantes en este proceso. En la tabla 4, se resumen las principales dificultades que enfrentan los estudiantes al estudiar el concepto de función, las cuales fueron presentadas por autores de diversos estudios: Markovits et al. (1994), Oliveira (1997), García-Quiroga et al. (2004), Igliori (2007), López y Sosa (2008), Akkoç y Tall (2002), Dubinsky y Wilson (2013), a partir de la revisión de trabajos de diferentes autores pro- ducidos entre 1960 y 2011, y Brendefur et al. (2015), a partir de la revisión de diversos trabajos.

Tabla 4: Resumen de las dificultades que enfrentan los estudiantes con relación al aprendizaje de función

Fuente: elaboración propia.

Como resultado de los análisis realizados en las siete etapas previamente presentadas en la fase epistemológica de la _TMCC, se ha desarrollado una intervención didáctica que se explica en el siguiente apartado. Se ha elegido como contexto para la intervención el análisis dinámico de un pórtico (etapa i) e identificamos, a partir de una referencia bibliográfica comúnmente utilizada en ingeniería civil para estudiar este tema, cómo se movilizan los conceptos matemáticos, especialmente los diferentes tipos de funciones (etapa ii).

Observamos que, a diferencia de lo que está presente en los problemas de la mayoría de los libros de cálculo, en el análisis dinámico de estructuras, y sin duda en aplicaciones en otros campos, las situaciones no involucran solo un tipo de función; por el contrario, exigen la movilización articulada de distintas funciones y un amplio conjunto de nociones relacionadas con estos objetos matemáticos. En consecuencia, una intervención didáctica orientada a revisar el estudio de las funciones a través de una situación contextualizada en la ingeniería, revisión que en las instituciones donde enseñamos se da en la asignatura inicial de cálculo diferencial e integral (como se detalla en la etapa iii), debe permitir al alumno desarrollar la capacidad de trabajo de forma integrada con los conceptos relacionados con la función.

El problema elegido para la intervención también debe permitir al alumno percibir por qué históricamente el desarrollo de la noción de función (etapa iv) fue importante para diferentes áreas del conocimiento y por qué esto ocurrió de manera articulada a la búsqueda de la expresión matemática de situaciones reales que implican variaciones. Además, deberá proporcionar una familiarización inicial con una idea fundamental relacionada con las funciones: el estudio de modelos. Además, a nuestro juicio, la intervención tendría un mayor impacto en la formación del futuro ingeniero si permitiera enfrentar algunos de los obstáculos epistemológicos relacionados con el concepto de función (etapa v), superarlos y, en consecuencia, brindar condiciones para comprender diferentes aspectos esenciales para la noción de función.

Respecto a los libros de texto de Cálculo de Flemming y Gonçalves (2006), y Stewart (2017), que son de uso común o al menos referenciados como bibliografía básica en las instituciones donde impartimos docencia (analizados en la etapa vi), consideramos que ambos podrían servir como material de apoyo para la intervención elaborada, para el desarrollo, incluso recurriendo al uso de recursos tecnológicos, de habilidades más técnicas relacionadas con el estudio de la función.

Como soporte para la expansión del conocimiento sobre las aplicaciones de la función en diferentes áreas del conocimiento, el libro de Stewart (2017) se muestra más efectivo, ya que las situaciones que exploran contextos no estricta- mente matemáticos están presentes en mayor número y contemplan una mayor diversidad de áreas en comparación con el de Flemming y Gonçalves (2006), en el que las aplicaciones están muy restringidas a la economía. Otro aspecto a destacar es que en Flemming y Gonçalves (2006) no se menciona el uso de recursos tecnológicos para abordar problemas contextualizados, mientras que en Stewart (2017) hay un número significativo de preguntas de esta naturaleza en las que, según el autor, es necesario utilizar calculadoras gráficas, computadoras y en algunos casos sistemas computacionales algebraicos.

Finalmente, el análisis realizado muestra la importancia de considerar, al diseñar la intervención, cuáles son las principales dificultades que enfrentan los estudiantes al estudiar el concepto de función (etapa vii) y luego brindarles oportunidades para minimizarlas. Por lo tanto, procedemos a presentar la intervención.

Resultados y análisis: la intervención didáctica

La intervención didáctica fue planificada para ser aplicada en 12 horas en total, distribuidas en 3 semanas, con 4 horas de aula en cada semana. A continuación, se presenta el problema que contextualiza la intervención propuesta.

Considere un pórtico con masa m = 384 kg, rigidez de cada columna N/m y tasa de amortiguamiento 0,05, siendo c la constante deamortiguamiento. Se aplica una fuerza estática a esta estructura, lo que provoca un desplaza miento inicial u₀ = 0,1m. Luego, esta fuerza se elimina abruptamente y la estructura comienza a vibrar libremente con velocidad inicial cero. Considerando únicamente la posibilidad de desplazamiento horizontal de este pórtico, la expresión que permite analizar el comporta miento del desplazamiento u con relación al tiempo viene dada por:

Pregunta: ¿La amplitud de movimiento será el 20 % del rango inicial después de cuántos ciclos?

Nota: considere dos decimales para los cálculos.

Destacamos que el modelo matemático que describe el problema mencionado implica una ecuación diferencial ordinaria (_EDO) ho- mogénea de segundo orden con coeficientes constantes. Sin embargo, dado que nuestra intención al diseñar la intervención es trabajar con estudiantes de una asignatura inicial de cálculo diferencial e integral, adaptamos el problema de manera que ya se proporciona la expresión que describe el desplazamiento horizontal del pórtico en función del tiempo, y no se requiere que el alumno resuelva la mencionada _EDO.

Posteriormente, a través de las tablas 5 a 11, explicamos la planificación que hemos preparado para cada una de las semanas que componen la intervención y sus respecti- vas clases. Es importante mencionar que las observaciones en la tercera columna de cada una de estas tablas, titulada “Consideraciones generales”, son el resultado de nuestra inter- pretación, de nuestras experiencias profesio- nales como docentes de cálculo diferencial e integral y del conocimiento de las realidades de los estudiantes de las instituciones donde enseñamos. Por lo tanto, es evidente que los docentes que trabajan en otros contextos pueden identificar, especialmente en lo que respecta a dificultades cognitivas, aspectos diferentes a los mencionados en estas tablas. Además, cada vez que se lleva a cabo la intervención, la planificación puede ajustarse o incluso modificarse según las situaciones observadas. Durante la realización de la inter- vención, el docente debe estar siempre atento para explorar, en el momento más adecuado de la secuencia de clases, otros conceptos que surjan de las discusiones, aunque no estén previstos, pero que son relevantes para alcanzar los objetivos.

Tabla 5: Planificación para la clase 1 (primera semana de la intervención)

Fuente: elaboración propia

Tabla 6: Planificación para la clase 2 (primera semana de la intervención)

Fuente: elaboración propia.

Con respecto a esta primera semana de clases, presentada en las tablas 5 y 6, nos gustaría destacar el tema de los materiales destinados a la preparación previa del alumno con el fin de familiarizarlo con el contexto del problema mencionado en la tabla 6. En el caso específico de esta intervención, se produ- jeron dos videos por ingenieros civiles y físicos que colaboran con nosotros. En estos videos, se presentan las principales ideas relacionadas con los pórticos en un lenguaje accesible para los alumnos principiantes, además de una revisión del modelo masa-resorte ya estudiado por los alumnos de Ensino Médio (destinado al grupo de edad de 15 a 17 años), relacio- nándolo con el contexto del análisis dinámico de estructuras y, en particular, con los pórticos. También como material de apoyo, sugerimos la elaboración de un texto por ingenieros o físicos sobre las nociones de amortiguamiento, coeficiente de amortiguamiento, frecuencia natural, frecuencia natural amortiguada de una estructura y ángulo de fase del movimiento armónico.

Tabla 7: Planificación para la clase 3 (segunda semana de la intervención)

Fuente: elaboración propia

Tabla 8: Planificación para la clase 4 (segunda semana de la intervención)

Fuente: elaboración propia

Con relación a las clases de la semana 2, cuyo esquema presentamos en las tablas 7 y 8, queremos destacar que esta semana se ha planificado la intervención de manera que, a partir de las respuestas proporcionadas por los alumnos a las preguntas 5 y 6, se realice un enfoque didáctico. Este enfoque no se centrará en la forma en que estos contenidos han sido previamente estudiados en Ensino Médio, sino que estará dirigido hacia sus futuros trabajos en ingeniería, utilizan- do un enfoque computacional. Se abordará la idea de funciones elementales (constante, polinómica, racional, modular, definida por partes, logarítmicas, exponenciales y trigonométricas), así como operaciones (adición, multiplicación y composición) y transformaciones (translación, reflexión, expansión y contracción) aplicadas a este tipo de funciones.

Tabla 9: Planificación para la clase 5 (tercera semana de la intervención)

Fuente: elaboración propia

Tabla 10: Planificación para la clase 6 (tercera semana de la intervención)

Fuente: elaboración propia.

Tabla 11: Segunda parte de la planificación para la clase 6 (tercera semana de la intervención)

Fuente: elaboración propia

Respecto a esta tercera semana de in- tervención, presentada en las tablas 9, 10 y 11, es importante señalar que, con el fin de ayudar a los estudiantes a resolver el pro- blema propuesto relacionado con el análisis dinámico del pórtico, se planificó una serie de preguntas auxiliares para las dos clases de esta semana. Estas preguntas, numeradas del 7 al 15, se indican en las tablas 9, 10 y 11. Fueron diseñadas con el objetivo de desenca- denar discusiones con los estudiantes sobre los conceptos fundamentales necesarios para la resolución del problema. Esto les permitiría llegar indirectamente a la solución deseada, sin proporcionar respuestas directas, y les daría la oportunidad de revisar los conocimientos que buscábamos reforzar al planificar la intervención.

Conclusiones

La elaboración de intervenciones didácti- cas para la enseñanza de matemáticas en ingeniería, basadas en problemas clásicos del área, constituye una tarea sumamente desafiante para el docente. Sin embargo, en nuestra opinión, también resulta gratificante debido a su potencial para fomentar un mayor compromiso por parte de los alumnos en el aprendizaje de contenidos básicos y funda- mentales para su formación. En muchos ca- sos, especialmente durante los primeros años de los cursos, estos contenidos parecen carecer de sentido debido a enfoques mayoritariamente desconectados de las especificidades de la ingeniería. Asimis- mo, en muchos casos, estos enfoques pueden convertirse en obstáculos para la progresión y permanencia de los estudiantes en la carrera a la que ingresaron, o bien representar simplemente una revisión de conceptos ya estudiados en niveles educativos anteriores.

En esta tarea, el docente se enfrenta a diversos retos que deben superarse. Uno de ellos es la selección de problemas específicos de ingeniería que sean potencialmente ricos para abordar los conceptos matemáticos pertinentes. Además, es necesario organizar la intervención considerando tanto la forma en que se abordarán estos problemas en los materiales propios de la ingeniería empleados en las instituciones donde se imparte la enseñanza, como la manera en que se prevé trabajar con un determinado contenido matemático, incluyendo las asignaturas en las que se realiza dicho trabajo y las referencias bibliográficas empleadas. También es importante abordar cuestiones de carácter histórico, especialmente en lo que respecta a los obstáculos epistemológicos vinculados al proceso de desarrollo de un objeto matemático particular. Además, se deben considerar los posibles obstáculos cognitivos que los estudiantes pueden encontrar en el aprendizaje de un cierto contenido matemático.

Otro desafío al que seguramente se enfrentarán los profesores es el hecho de que los problemas a partir de los cuales se desarrollan intervenciones como la presentada, involucran mucho contenido en las ciencias básicas y en el contexto de la ingeniería, el cual muchas veces aún no es dominado por los alumnos. Es necesario adecuar los problemas con cuidado para evitar correr el riesgo de simplificarlos demasiado, lo que podría hacerlos tan poco interesantes para el alumno como situaciones comúnmente trabajadas en clase. Por otro lado, tampoco se debe simplificarlos en absoluto, partiendo de la premisa de que presentar problemas contextualizados ya garantiza la motivación del estudiante, lo que podría hacerlos insuperables en ese momento.

En este artículo, esperamos haber mostrado el potencial de la _TMCC, espe- cíficamente en su fase epistemológica, para superar los desafíos mencionados. Además, consideramos que este enfoque puede servir como un marco teórico que permita reflexiones relevantes para la reorientación de la práctica del docente que imparte matemáticas en cursos de ingeniería. El objetivo es vincular lo que se está abordando en el aula con el desempeño profesional futuro del alumno.