Aprendizaje de la modelación matemática en un medio sociocultural

Componentes de la teoría de la actividad

La búsqueda de elementos que permitan la construcción de un marco teórico coherente sobre las representaciones que incluya a las representaciones espontáneas (como la mostrada en DiSessa et al., 1991), y que permita su evolución en un ambiente de aprendizaje en colaboración, llevó a poner en consideración las investigaciones de Leontiev (1975) sobre la actividad en el proceso de aprendizaje en colaboración.

Si bien desde los estudios de Vygotsky se retomaron importantes elementos, como lo social, el rol del instrumento y el signo (Montealegre, 2005), es Leontiev el responsable de la formulación de la teoría de la actividad.

Para nuestra investigación retomamos como elementos importantes de dicha teoría los siguientes:

» La orientación: corresponden a este elemento las necesidades, los motivos y las tareas que se pretenden conseguir.

» La ejecución: consiste en la realización misma de acciones y operaciones relacionadas con los elementos mencionados en el ítem anterior (Montealegre, 2005).

Es importante poner de manifiesto la diferencia entre acciones y operaciones de acuerdo con Leontiev (1975). Para él, las acciones ligan la actividad según el contexto y pueden ser mentales y físicas. Cuando las acciones son asimiladas por el cuerpo y la mente de la persona, se puede decir que se convierten en operaciones. Es decir, un proceso de aprendizaje pasa por dos etapas: una nueva en la que mente y sentidos encuentran nuevas sensaciones (acciones), y otra en la que estas acciones son asimiladas y uno es capaz de reproducirlas (operaciones).

Desde una perspectiva sociocultural, adoptada por el mismo Leontiev, la evolución de una acción a una operación estaría restringida si no se propiciara la comunicación entre los individuos. De esta manera, cuando un estudiante produce una representación espontánea, emergente de sus acciones, esta podría no llegar a convertirse en operación (considerando la representación interna y externa) si no está ligada a un proceso de comunicación.

Para Radford (2006), el proceso de comunicación ha sido estudiado desde las tradiciones saussureana, peirceana y vygotskiana. Teniendo en cuenta los preceptos ubicados en cada una de estas tradiciones, aquí consideramos la última como la indicada para este estudio. Así, retomamos la definición de Voloshinov (1973), quien indica que la comunicación es el motor principal para la construcción de un signo. Además concordamos en que en la construcción de un signo, lo que es importante es el proceso que lleva cierta comunidad en su construcción y no el producto final, que es el signo (Eco, 1975/1992; Radford, 2002, 2003). En consecuencia, una representación espontánea ligada a la resolución de un problema o situación problema podrá evolucionar en la discusión con otros y convertirse en un signo dentro de esa microcomunidad. Desde este punto de vista, el territorio del signo trasciende al individuo y se consolida en la comunicación con otros (véase la figura 2).

Figura 2: Nuestra interpretación del territorio del signo según Voloshinov (1973) y evolución del mismo en un aprendizaje equitativo

Fuente: elaboración propia.

El estudio de representaciones desde una perspectiva sociocultural

De acuerdo con lo expuesto, la presente investigación reconoce la importancia del estudio de las representaciones en el proceso de aprendizaje de las matemáticas. Sin embargo, consideramos necesario buscar nuevos elementos de análisis que difieran de los centrados solo en el individuo, como lo hace el acercamiento constructivista de Tall y Vinner (1981), o teorías como la APOS (Asiala et al., 1996). En particular, nos parece necesario dejar de lado herramientas teóricas que solo privilegian el uso de representaciones institucionales.

Reconocemos la importancia de profundizar en teorías que consideren como fundamentales en el proceso de aprendizaje equitativo las representaciones no institucionales que emergen de manera intuitiva cuando se transita por procesos de modelación matemática y de resolución de problemas, y su evolución durante los procesos de comunicación.

En este documento, queremos ejemplificar la emergencia de representaciones no institucionales y su evolución dentro de los procesos de comunicación en el aula de matemáticas. Para ello, hemos seleccionado el concepto de covariación entre variables.

Con respecto a este y otros muchos conceptos de la matemática, representaciones no institucionales han estado presentes en la historia del desarrollo de las ideas matemáticas, como es el caso de las ideas propuestas por Oresme (Edwards, 1937) y Galileo (Azcárate, 1984) sobre la covariación entre variables, que llevaron posteriormente al desarrollo del concepto de función. Las representaciones presentadas por Oresme y Galileo muestran ideas intuitivas que surgieron para dar respuesta a un problema físico (tiempo y velocidad, cuerpo que cae considerando tiempo y distancia recorrida, etc.). Así dieron cuenta de un pensamiento divergente para proporcionar soluciones creativas y funcionales (véase la figura 3).

Figura 3: Interpretación de las representaciones iniciales de Oresme (Costé 1997, p. 1) y de Galileo (Azcárate 1984, p. 207)

Estas representaciones de carácter funcional y espontáneo (siguiendo una línea de razonamiento como la de Leontiev y Voloshinov) permiten su evolución en un proceso de comunicación. A partir de este momento, nos referiremos a estas representaciones intuitivas e iniciales como "Representaciones funcionales-espontáneas" (R_F-E).

Desde nuestra posición, consideramos que las R_F-E emergen de manera natural en los procesos de modelación matemática, y de acuerdo a nuestro marco teórico, a través de un proceso de comunicación es posible su evolución, en un proceso equitativo, hacia las representaciones institucionales.

La enseñanza a través de procesos de modelación matemática utilizando la metodología Acodesa

Nuestra propuesta de enseñanza considera primordial la noción de R_F-E y la posibilidad de su evolución dentro de una comunidad en un trabajo en colaboración en el aula de matemáticas, para responder a la pregunta ¿Qué metodología es apropiada en un ambiente de interacción social en el aprendizaje de las matemáticas?

En un acercamiento sociocultural, considerando un acercamiento de Aprendizaje colaborativo, Debate científico y Autorreflexión (Acodesa), queremos resaltar la importancia del trabajo en colaboración, del debate científico (Legrand 1993) y la autorreflexión en el aula de matemáticas. Este acercamiento nos permite organizar la práctica en el aula como se muestra en la figura 4.

Figura 4: Metodología de enseñanza Acodesa (Hitt y González-Martín 2015)

En la figura 4 se muestran cinco etapas que constituyen la metodología de enseñanza Acodesa:

Etapa 1. Trabajo individual. Producción de R_F-E para entender la tarea. El trabajo individual permite al estudiante representarse la situación problema o el problema a fin de prepararse para una discusión en la cual sus ideas tengan mayor impacto. En esta etapa las representaciones funciona-les-espontáneas emergen en forma natural.

Etapa 2. Trabajo en equipo sobre la misma tarea. Procesos de discusión y validación. Refinamiento de las R_F-E.

De acuerdo con Voloshinov (1973) y Davydov (1999), en un marco teórico de la actividad no debemos oponer la práctica a la comunicación, sino más bien considerarlas como inseparables. Esto para permitir la evolución de las R_F-E que emergieron durante la primera etapa en el acercamiento individual. Al mismo tiempo, el proceso de validación se presenta de manera natural en el intercambio de ideas. La distribución del trabajo es importante: uso de tecnología por una persona, uso de materiales por otra, toma de datos y escritura de resúmenes de las acciones realizadas por otra, etc. Es importante trabajar en equipos de tres personas (Prusak, Hershkowits y Schwarz, 2013). El refinamiento y la evolución de las representaciones se realizan de manera natural y equitativa.

Etapa 3. Discusión (podría provocar un debate científico). Procesos de discusión y validación (refinamiento de representaciones). La discusión en plenaria no es fácil de dirigir, el maestro tendría que promover la comunicación científica en el sentido de Legrand (1993) creando un ambiente de discusión científica, en donde la validación sea un elemento esencial, de manera que se favorezca un aprendizaje equitativo. Cada equipo propone sus resultados y los pone a consideración de toda la clase. Una vez más las R_FE pasan por otra etapa de refinamiento. Es importante llegar a un acuerdo en el grupo. Sin embargo, también se debe tener en cuenta la fugacidad del consenso; es probable que los estudiantes consideren que han comprendido sin que verdaderamente hayan interiorizado los resultados y nuevas representaciones (Thompson, 2002). La siguiente etapa es insustituible.

Etapa 4. Regreso a la tarea en forma individual (trabajo individual de reconstrucción y autorreflexión). Esta etapa es crucial en la metodología Acodesa, ya que todo el trabajo individual y en equipo una vez pasado el consenso se puede olvidar rápidamente. La estabilidad del conocimiento adquirido en las etapas anteriores no podrá alcanzarse si no se pasa por un periodo de reconstrucción (autorreflexión) de lo realizado.

Etapa 5. Institucionalización del conocimiento. Procesos de institucionalización y uso de representaciones institucionales. En esta etapa, el maestro resume los resultados de los equipos, muestra la evolución de las representaciones espontáneas que emergieron en las etapas anteriores y discute su eficacia antes de introducir las representaciones institucionales y los procesos correctos.

A través del uso de este método de enseñanza se realizó una investigación con estudiantes de secundaria en Quebec (Hitt y González-Martín, 2015) sobre el tema de la modelación matemática que nos permitiera sustentar nuestros hipótesis, con un marco teórico basado en los trabajos de investigadores seguidores de la escuela soviética con respecto al aprendizaje en un medio sociocultural y en la construcción del signo desde esta perspectiva. Nuestro acercamiento metodológico también lo investigamos en un medio sociocultural que incluyera el uso de tecnología (Hitt, Saboya y Cortés, 2016, 2017).

En este documento, hemos querido refinar nuestro acercamiento teórico-metodológico y proporcionar definiciones más apropiadas al marco teórico en el que nos estamos basando.

La modelación matemática desde la teoría de la actividad

Con las ideas descritas anteriormente como marco teórico, en la figura 5 presentamos el diagrama que describe nuestra postura sobre modelación matemática retomando elementos importantes de la teoría de la actividad.

Figura 5: Esquema propuesto para el estudio de un proceso de modelación con elementos de la teoría de la actividad

Fuente: elaboración propia.

Consideramos que es a través del planteamiento de una situación problema como puede generarse un pensamiento diversificado con miras a su resolución. La búsqueda de la solución conforma la orientación de la actividad misma de los estudiantes, puesto que les proporciona una meta u objetivo hacia el cual dirigir sus acciones. Por ello, en la figura 4 es posible apreciar que en esta primera sección se presenta una situación problema a los estudiantes, allí está presente la etapa de orientación presentada por Leontiev (1973).

En un segundo momento, durante el proceso de resolución, son los estudiantes quienes generan las R_F-E y estas evolucionan a través de un proceso de comunicación en un trabajo en colaboración. Las ideas intuitivas plasmadas en las R_F-E y las representaciones siguientes que se generan muestran el tipo de acción que realizan los estudiantes para ejecutar la actividad.

En un tercer momento, los estudiantes a través del diálogo y la reflexión constantes en sus grupos de trabajo y también en un proceso de comunicación de ideas en el salón de clases (considerada como aula equitativa) logran que sus acciones se conviertan en operaciones, sistematizando las actividades que llevan a cabo para la resolución de la situación problema.

Es importante mencionar que el paso entre acciones y operaciones está determinado tanto por un medio sociocultural del aprendizaje como por la promoción de tratamiento entre representaciones que llevarán a la evolución de las R_F-E hacia las representaciones institucionales (R_l).

Metodología

El presente estudio se basa en un paradigma cualitativo de investigación, enmarcado en un estudio de caso. La recolección de datos tuvo lugar en una escuela secundaria pública de la ciudad de Montreal, Canadá. La población elegida fueron estudiantes de tercer grado (la escuela secundaria consta de cinco grados) de dicho nivel educativo que cursaban la materia de matemáticas.

La actividad diseñada forma parte de una serie de cinco situaciones problema que se aplicaron en un periodo largo para promover una evolución de significados que dieran pie a una co-construcción cognitiva de los estudiantes sobre los conceptos de covariación entre variables y función. Las actividades se implementaron en dos grupos de 24 y 36 participantes respectivamente, con una edad entre 14 y 15 años. Una meta concerniente a las cinco actividades era el desarrollo de representaciones gráficas y algebraicas de las funcionales a través de la noción de covariación entre variables (véase la tabla 1). Las cinco actividades, en sus primeras etapas, promovían la emergencia de las R_F-E; se les solicitó explícitamente a los estudiantes que produjeran una representación externa. Es necesario recordar que los dibujos (diagramas) y las representaciones verbales son dos maneras posibles de externar las representaciones de los estudiantes a fin de conocer sus R_F-E.

Tabla 1: Organización de las actividades y tipo de representación solicitada

Fuente: elaboración propia.

Para su aplicación, se retomó la metodología de enseñanza Acodesa, ya descrita. Este es un método bien articulado que combina el aprendizaje en colaboración con el debate científico y la autorreflexión. La metodología Acodesa privilegia las R_F-E de los estudiantes cuando resuelven una situación problema, puesto que dan pie al uso de un pensamiento diversificado en el que el docente no provee la solución sino que motiva la aplicación de diferentes procedimientos para su resolución.

Preguntas de investigación

La presente investigación se interesa en conocer las R_F-E de los estudiantes cuando se les plantea una situación problema basada en la modelación matemática. Asimismo, se busca describir la manera en que dichas representaciones evolucionan mediante el uso de una metodología en colaboración y debate científico. Las dos preguntas de investigación que se pretenden responder son las siguientes:

» ¿Qué características poseen las representaciones funcionales-espontáneas que surgen cuando se plantea un problema basado en modelación matemática respecto a la covariación entre variables?

» ¿De qué manera evolucionan las representaciones funcionales-espontáneas de los estudiantes a través de una experiencia sociocultural mediante una metodología en colaboración y debate científico?

Para realizar tal análisis se retomarán los resultados presentados por un equipo de trabajo (a manera de estudio de caso) en un salón de clases donde se aplicó el método de enseñanza Acodesa. La actividad denominada "El fotógrafo" estuvo dirigida al aprendizaje de la covariación entre variables (véase la figura 6).

Figura 6: Actividad "El fotógrafo"

En la siguiente sección se describe la metodología que se utilizó así como la actividad empleada, y se analizan las acciones de los estudiantes durante la primera actividad. Esta se seleccionó para el presente estudio puesto que permite mostrar las ideas iniciales de los estudiantes respecto a la covariación entre variables, logrando visualizar y analizar sus R_F-E. La muestra (estudio de caso) está delimitada por un equipo de cuatro integrantes elegidos al azar de entre los equipos de los dos grupos donde se aplicó la sesión, cuyas características específicas se describirán.

Análisis de resultados

Los resultados serán presentados siguiendo las diferentes etapas de la metodología Acodesa.

Etapa 1. Trabajo individual

Después de que a los estudiantes se les presentó la situación problema, se les propuso explicitarla de manera individual por medio de una representación externa. Además, se les solicitó que expresaran por medio de palabras escritas dicha explicación.

Entre el equipo elegido de cuatro integrantes, fue posible apreciar cuatro diferentes R_F-E generadas por los estudiantes a quienes denominamos A₁, A₂ A₃ y A₄ Se presentan a continuación las cuatro R_FE y sus explicaciones.

Tabla 2: RF-E de los estudiantes en el trabajo individual

Distinguimos entre las respuestas de los estudiantes varios puntos importantes. En primer lugar, los cuatro muestran sus ideas sobre la situación problema que se les presentó, analizan las variables que el enunciado les indicaba y logran expresar a través de un dibujo comprender el fenómeno estudiado. A pesar de que las variables que involucran los estudiantes son diversas, es posible resaltar que ellos están orientados hacia la actividad que realizan. Es decir, existe una meta clara y entendible que les permite expresar en papel las cuatro R_F-E que están plasmadas en la tabla 1.

De acuerdo con Leontiev (1973), toda actividad se desencadenará por la presencia de una meta que regirá las acciones que se desarrollen en un momento posterior. Dicha meta motiva al estudiante para desarrollar la tarea posterior, y es precisamente una situación problema enmarcada en la vida cotidiana la que desencadena la actividad de los estudiantes, de acuerdo a Niss, Blum y Galbraith (2007) en sus estudios sobre modelación matemática.

Ahora bien, de las cuatro ideas iniciales, existen ideas relativas a la covariación. La representación de A₁ expresa una covariación entre el ángulo formado por la línea recta entre el fotógrafo y la estatua con respecto a la acera, y la distancia que lo separa de la estatua. Es decir, el estudiante considera la covariación entre ángulo y distancia entre la cámara y la estatua. En este caso, la estatua desempeña un papel importante ya que se toma con una altura.

El estudiante A₂ considera una covariación entre el tamaño del cateto de la base de un triángulo que varía y su hipotenusa. Es posible distinguir que este es el único estudiante que muestra a través de un triángulo la manera en que se podría solucionar la situación problema, mientras que los otros tres se limitan a describir la situación. También es importante señalar que aun cuando la estatua está representada con una figura, en el modelo matemático, se convierte en un punto (vértice superior del triángulo).

Además de esto, las R_F-E de A₂ tienen muchos elementos por estudiar. El proceso de modelación de A₂ en su primer acercamiento de trabajo individual proporciona más elementos para utilizarlos en el proceso de matematización. Como se ha dicho, para A₂ la estatua representa un punto; esto marca la importancia de fijar un lugar para hacer las mediciones entre el fotógrafo y la estatua, lo que no ocurre con los otros compañeros. Por ejemplo, con respecto al dibujo de A₁, no es claro que esté construyendo un triángulo y así la estatua se considere un punto.

El tercer estudiante distingue una covariación limitada. Para él, existe una covariación entre la distancia recorrida por el fotógrafo y la distancia entre la cámara y la estatua. Sin embargo, a diferencia de los otros dos casos, en A₃ es posible apreciar la claridad sobre la variación de la distancia entre la cámara y la estatua y mucho menos énfasis en la variación de la distancia recorrida por el fotógrafo, es decir, no muestra alguna idea directa de covariación en su representación, ni tampoco en la explicación que hace de ella.

El cuarto estudiante, A₄, expresa con mayor claridad un fenómeno de covariación entre la distancia del fotógrafo al moverse y la distancia entre el fotógrafo y la estatua. Incluso, propone un ejemplo en donde la distancia del fotógrafo a la estatua no varía, al considerar un círculo como acera.

En estos momentos ya podemos posicionarnos con respecto a las características de las representaciones en esta primera etapa de Acodesa contestando la primera pregunta de investigación:

» La representación funcional-espontánea que construyen los individuos está ligada al enunciado, pero también a la acción de representarla externamente. Si el individuo solo leyera el enunciado, su representación podríamos considerarla como exclusivamente mental. Sin embargo, cuando realiza una representación externa, la representación mental se transforma en R_F-E (interna-externa).

» La representación externa expresa en cierta medida lo que el individuo ha comprendido de la situación.

» El proceso de modelación es inmediato en esa construcción funcional-espontánea. La potencialidad de la representación externa y la comunicación con los miembros de su equipo y de toda la clase dependerán de otros factores que están ligados y son determinantes en un proceso de comunicación.

Etapa 2. Trabajo en equipo

La discusión en equipo produjo un cambio sustancial en el trabajo. En la metodología Acodesa, se solicita a los estudiantes iniciar con tinta negra, si realizan cambios, utilizar tinta roja en el trabajo en equipo, y si de nuevo realizan cambios, utilizar tinta verde en la discusión en la plenaria. Así resulta más fácil analizar lo producido por los estudiantes, ya que algunas veces no se filmaba el proceso completo de cada equipo (solo se contaba con dos cámaras).

En el proceso de discusión es posible apreciar algunas características particulares de los cuatro estudiantes:

A₁: Es un estudiante extrovertido que se impone en el trabajo en equipo. Opina frecuentemente, con mucha seguridad en sí mismo ante sus compañeros y ante el profesor.

A₂: Es un estudiante introvertido que interviene poco en la conversación y regularmente solo cuando se le solicita. Tiende a trabajar solo, pero es muy reflexivo y atento a las opiniones de sus compañeros.

A₃: Es un estudiante regular que interviene poco. No promueve una discusión con sus compañeros ni les muestra su trabajo. Busca completar las hojas de trabajo y para ello incluso escribe sin revisar las ideas que plasmaron sus compañeros.

A₄: Es un estudiante que opina poco, sin embargo parece atento durante toda la discusión. No parece modificar sus ideas iniciales, y le permite a A₂ que escriba en su hoja de trabajo lo que él ya había escrito de antemano.

Ante estas características describiremos lo sucedido en el trabajo en colaboración. El equipo al verse en la necesidad de crear una sola representación externa que explique mejor la situación presentada entre los cuatro integrantes del equipo, inicia su proceso de comunicación. El primero en iniciar el diálogo fue A₁ quien tomó la palabra con rapidez. Les mostró a sus compañeros sus ideas respecto a la relación entre el ángulo y la distancia, mientras A₂ estaba atento a estas ideas.

A₁: Dado que la estatua no se desplaza, pero cuando tomamos la foto sí lo hacemos, entonces el largo de la distancia (hacia la estatua) puede variar. Pero incluso hay otras variables que cambiarían el ángulo.

Ante la incorporación de la variable "ángulo" a la discusión, A₂ empezó a integrar por escrito esta noción y agregó a su representación indicaciones de ello. Es posible notar en la hoja de trabajo que A₂ refiere como importante que el ángulo de la foto respecto a la estatua también sea una variable que se tenga en cuenta, sin embargo no le dice a A_1.

Por su parte, A₁ sigue tomando constantemente la palabra para explicar más de sus ideas. Entre ellas, plantea al docente la posibilidad de que se puedan incluir otras variables en la situación. Ante la pregunta del docente sobre cuáles serían estas nuevas variables, A₁ indica: "Otras variables pueden ser si la acera tiene alguna inclinación, si hay un árbol (entre la estatua y el fotógrafo), la calle, la iluminación.

Como A₂ era el que tomaba nota de lo discutido, siempre utilizó un triángulo, proporcionando una idea clara de matematizar la situación. Incluso en la parte verbal, escribe que al utilizar un triángulo es posible calcular lo necesario, así aplica el teorema de Pitágoras (véase la figura 7).

Figura 7: Trabajo en equipo del grupo A1, A2, A3 y A4 (en tinta roja).

De nuevo, A₂ acepta e incorpora estas ideas a su hoja de trabajo. Mientras tanto A₃ y A₄ opinan poco y no muestran su hoja de trabajo a sus compañeros. A₃ integra en su documento lo que hace A₄. A₂ se encarga de plasmar una nueva representación en una nueva hoja de trabajo, que incorpore las ideas de su equipo de trabajo. La figura 7 muestra la representación de los estudiantes.

En la segunda representación, A₂ escribe el nuevo acercamiento de su equipo de manera global e incluye las variables que él mismo no había considerado y que fueron aportadas por A₁ En la representación es posible apreciar conceptos como hipotenusa, catetos y ángulos, en el dibujo que se representa mediante un triángulo. Es importante notar que a diferencia del primer esquema presentado por A₁ en esta representación se considera la estatua como un punto, a pesar de que el dibujo es una figura en forma de hombre. Además, plasman las ideas respecto a la variación del ángulo.

A₁ está de acuerdo con la representación realizada por A₂ y pide que se incorpore además en la descripción las otras variables que él mismo menciona que pueden influir, como la inclinación de la acera, o un árbol entre el fotógrafo y la estatua.

Es importante a su vez reconocer que A₂ encuentra nuevos elementos (ángulo) que le permiten escribir explícitamente que es a través de la construcción de un triángulo y tomando en cuenta las diferentes variables como es posible encontrar las medidas entre el fotógrafo y la estatua. Ello muestra que los estudiantes consiguieron alcanzar una meta al ir modificando sus R_F-E iniciales.

Podemos decir que el trabajo en colaboración proporcionó nuevos elementos para refinar las R_F-E individuales y mejorar los procesos de modelación matemática de este equipo, de acuerdo a las ideas de construcción del signo (Eco, 1975, 1992; Radford, 2002, 2003, 2006) en un proceso de comunicación (Voloshinov, 1973).

Discusión

Los resultados expuestos en la sección anterior evidencian que a través de un proceso de modelación matemática donde se plantea una situación problema es posible la generación de representaciones no institucionales por parte de los estudiantes. Las cuatro representaciones creadas en la actividad propuesta tienen un carácter funcional y espontáneo (R_F-E) puesto que surgen de manera natural para explicar el fenómeno estudiado con representaciones propias (generalmente no institucionales).

Las cuatro representaciones mostradas en la tabla 1 describen las ideas iniciales de los estudiantes en cuanto a la situación "El fotógrafo". En todas ellas existen ideas y conceptos matemáticos diversos que se ponen en juego, y algunos de ellos se relacionan a través de la covariación, tales como: ángulo, distancia entre la estatua y el fotógrafo, distancia entre la acera y el fotógrafo, triángulos, catetos, hipotenusas, entre otros.

De acuerdo con las ideas expresadas por Leontiev (1973), este conjunto de acciones llevadas a cabo por los estudiantes tanto individualmente como en equipo responden en todo momento a una orientación inicial o meta común. Esta meta estuvo delimitada por la situación problema propuesta al inicio de la metodología Acodesa.

A través de un proceso de comunicación, se evidenció cómo las acciones de los estudiantes cambiaron y se ajustaron al trabajo en colaboración. Se aprecia que A₂ incorpora las nociones y conceptos propuestos por sus compañeros, mientras que A₁ expresa de manera natural sus explicaciones ante el docente y su equipo de trabajo. En consonancia con las ideas de Leontiev y Voloshivov, las representaciones no lograrían evolucionar si no estuviera presente el proceso de comunicación.

Por la naturaleza de la actividad, no se pedía a los estudiantes que llegaran a otro tipo de representaciones (gráficas o algebraicas). Ello debido a que, por ser la primera situación planteada a los estudiantes, tenía como meta poner en juego en el grupo las normas de experimentación ligadas a la metodología Acodesa, así como enfocarse en el estudio de las nociones iniciales de covariación. Por lo tanto, no es posible en este escrito documentar la evolución de las acciones de los estudiantes en operaciones (Hitt y González-Martín, 2015).

La interacción social de la que se ha hablado en este manuscrito fue posible gracias al empleo de la metodología Acodesa. Siguiendo las etapas de esta, se dejó de lado una instrucción que privilegiara las representaciones institucionales y se permitió que los mismos estudiantes mostraran las representaciones espontáneas partiendo de una meta en común.

Conclusiones

El estudio concluye que las representaciones iniciales e intuitivas de los estudiantes ante la resolución de una situación problema son de gran importancia en su proceso de aprendizaje. Pasarlas por alto conduce a ignorar parte de la construcción de los conceptos matemáticos y a olvidar la importancia de las concepciones de los estudiantes.

Respondiendo a la primera pregunta de investigación, las representaciones iniciales poseen un carácter funcional y espontáneo, surgen de manera natural y persiguen una meta inicial de aprendizaje. Este tipo de representaciones deben ser incluidas y estudiadas con el fin de comprender el proceso de aprendizaje de los conceptos matemáticos. Es necesario profundizar hacia el estudio de este tipo de representaciones dentro de la investigación en didáctica de las matemáticas con el fin de definirlas de manera adecuada y cada vez más completa.

Con relación a la segunda pregunta de investigación, mencionamos que la metodología Acodesa permitió, a través de un ambiente sociocultural, que los estudiantes del equipo de trabajo plasmaran las representaciones mencionadas, primero de manera individual y después como parte de un equipo. La evolución de las representaciones en el trabajo en equipo permitió reconocer la importancia de la comunicación entre pares dentro del salón de clases, característica importante de la metodología Acodesa.

Consideramos que la teoría de la actividad nos proporcionó elementos importantes para el análisis de lo ocurrido en el estudio. En investigaciones posteriores es necesario profundizar respecto al estudio de las acciones y operaciones dentro de la formación de un concepto matemático.

Es indispensable señalar que, concordando con la teoría de la actividad, el proceso de comunicación fue el punto clave para la evolución de las representaciones de los estudiantes siguiendo un aprendizaje equitativo. El significado que cada uno de ellos brindó en sus primeros esquemas cambió después de que se estableciera un diálogo con sus pares. Así, se espera que los estudiantes construyan un concepto similar al que la sociedad espera de ellos.

Por otra parte, la investigación reconoce que la comunicación no tuvo el mismo impacto en los cuatro miembros del equipo de trabajo. Para dos de ellos el diálogo llevó a la incorporación de ideas dentro de sus primeras representaciones, mientras que los otros dos tuvieron una participación limitada y se mantuvieron al margen de la discusión, sin embargo apoyaron la proposición final del equipo. De ello podemos concluir que las características propias de cada individuo y sus formas personales de trabajo pueden influir en el desarrollo del proceso de diálogo, y con ello en el beneficio del trabajo en colaboración. Nos parece importante realizar una caracterización de los estudiantes con el objetivo de promover equipos heterogéneos respecto a dichas características, preferiblemente con no más de tres integrantes (Prusak et al., 2013), y con ello buscar mejores oportunidades de aprendizaje.

En este estudio hemos querido ejemplificar las nociones de representación funcional-espontánea y su importancia en la construcción de conceptos. Esta actividad, como lo hemos señalado, solo tenía la intención de poner en juego las normas de la experimentación en el grupo. En este manuscrito, hemos mostrado nuestra idea de evolución de R_F-E en un contexto sociocultural del aprendizaje.