Análisis transpositivo en los libros de texto para la enseñanza Secundaria en Argentina en los últimos ochenta años: reformas educativas y transformaciones en el saber

Introducción

La textualización es uno de los principales vehículos a través de los cuales se producen efectos transpositivos (Chevallard, 1985). En particular, cuando ocurren reformas educativas, los fenómenos transpositivos se incrementan debido a que las reformas se difunden principalmente por medio de cambios en los diseños curriculares y la renovación de los libros escolares. Específicamente en Argentina, las sucesivas reformas educativas se vinculan con necesidades educativas como la que instala el Plan Rothe, y también la reforma de las matemáticas modernas en Francia (Santaló, 1966; Míguez, 2014; Southwell y Arata, 2011) que originaron cambios en el saber y, por tanto, en la textualización.

En trabajos anteriores analizamos diversas características de los libros escolares para el nivel secundario de la educación, relacionadas con modificaciones relativas al conocimiento matemático y físico, a las imágenes, y a la argumentación en matemática (Otero y Llanos, 2019; Llanos y Otero, 2018; Otero, Moreira y Greca, 2002). En esta investigación consideramos los libros escolares de matemáticas para la escuela Secundaria, editados en los últimos 80 años, a partir de una muestra intencional de 188 libros. Por tratarse de un análisis de las transformaciones de las praxeologías incluidas en los libros a lo largo del tiempo, se seleccionan intencionalmente las relacionadas con las parábolas, ya sea que estas se consideren funciones polinómicas o ecuaciones cuadráticas en dos variables, según el año de edición de los libros.

Se reconocen varias investigaciones que analizan libros de texto según las reformas educativas. Entre ellas se encuentran la de Santiago (1995), quien refiere en sus resultados a un deterioro en el tratamiento de los saberes de los libros como consecuencia de las reformas, otras que proponen “guías útiles” y recomendaciones a la hora de seleccionar un libro de texto (Castillo et al., 2022); y con relación a la función polinómica de grado 2 que es la praxeología seleccionada en este trabajo. Vivas (2010) y Gómez y Carulla (1999) señalan también una declinación de este saber, y lo hacen según un análisis basado en los sistemas de representación: verbal, simbólico, gráfico, geométrico y numérico. A diferencia de estas investigaciones, aquí el análisis del saber se realiza con base en los desarrollos del marco teórico de la Teoría Antropológica de lo Didáctico (TAD) (Chevallard, 1985, 1999, 2001, 2013), que resulta particularmente apropiado para el estudio de los libros de texto, gracias a las nociones de transposición didáctica, praxeología y condición antropológica; esta última, cabalmente expresada por la denominada escala de los niveles de codeterminación didáctica. Las preguntas que orientan la investigación son: ¿cuáles son las transformaciones del saber matemático a enseñar considerado en los libros de texto que emergen de las reformas educativas en Argentina?; ¿cómo interpretar esos efectos transpositivos a partir de la escala de los niveles de codeterminación didáctica y qué consecuencias didácticas entrañan?

En este sentido, se analizan los problemas vinculados a la transformación del saber en el tiempo, dado que en trabajos anteriores (Llanos y Otero, 2018; Otero y Llanos, 2019) hemos analizado los cambios en la argumentación y en el uso de las imágenes. A diferencia de los estudios previos, proponemos aquí discutir los cambios de un saber en el tiempo, producto de las transformaciones que se instalan con cada reforma educativa en los últimos ochenta años.

Metodología

Se seleccionaron intencionalmente 188 libros de texto de matemáticas para el nivel secundario, publicados entre 1940 y 2020. Se analizaron a partir de una categorización inductiva que contempla tres metacategorías de análisis: características de la argumentación (tipo de argumentación, inicio de la argumentación en cada capítulo y grado de argumentación, o grado de cuestionamiento producido en el libro); características de las imágenes y de los libros per se (periodos de edición, año de escolaridad, conocimiento matemático). Se efectúa una descripción de los libros, de las transformaciones identificadas con relación al conocimiento matemático, a la argumentación y al uso de las imágenes; lo que genera un primer análisis. Además, a los datos se le aplican técnicas multivariadas, específicamente el análisis factorial de correspondencias múltiples (AFCM) que permite una clasificación de los textos en clases, y también una identificación de los libros prototípicos de cada periodo, que son los que se utilizan en este trabajo. Estos resultados se obtienen con el soporte del software estadístico SPAD ^®.

Inicialmente los libros se clasifican según el año de su primera edición y su pertenencia a cuatro periodos, relacionados con cambios sustanciales en ellos, determinados por las distintas reformas mundiales que afectan la textualización y la educación en general. La primera reforma educativa que se reconoce es la impulsada por la sanción del Plan Rothe¹ en 1940, implementado entre 1942 y 1946 en Argentina, y con vigencia de cincuenta años. Esta reforma incluye los libros del periodo 1 (1940-1973). Más tarde el impacto de la Reforma de las Matemáticas Modernas en EE.UU. y Europa, impactan en Argentina entre 1960 y 1975, y dichos cambios se describen en el periodo 2 (1974-1994). Las transformaciones generadas por la Ley Federal de Educación en 1993 se evidencian en los libros del periodo 3 (1995-2007). Posteriormente, la Ley de Educación Nacional, sancionada en 2006 en Argentina, revierte la reforma de 1993, y la textualización adaptada a dicha reforma corresponde a los textos del periodo 4 (2008-2020).

La educación en Argentina estuvo organizada a partir de cuatro niveles: inicial, primario, medio y superior. El nivel medio se estableció en la segunda mitad del siglo XIX con la creación de los colegios nacionales y escuelas Normales, y más tarde con el surgimiento de las escuelas de comercio y los colegios industriales, cada uno con características y fines distintos. Con el Plan Rothe, se propone un ciclo básico común a los estudios de bachillerato y magisterio, es decir, se unificaron los colegios nacionales y las escuelas Normales, en primera instancia, y más tarde también las escuelas de comercio y las industriales. Esta estructura tuvo una vigencia de cincuentaidós años y, más allá de posteriores modificaciones, sus rasgos lograron instalarse como parte de los sentidos hacia los que se habían orientado las decisiones políticas y pedagógicas en las primeras décadas del siglo XX.

Los lineamientos que se proponen con el Plan Rothe abarcan los dos primeros periodos considerados pero los cambios en la textualización afectan al periodo 1. La distinción entre los periodos 1 y 2 se debe a las repercusiones de las reformas de las Matemáticas Modernas (Santaló, 1996) y también al auge de la teoría de las situaciones didácticas (TSD) de Guy Brousseau (1998), que desde 1974 impactan en Argentina y afectan la textualización. Los orígenes de la TSD se remontan a los años 1970, época en la que en Francia empezó a constituirse la didáctica de las matemáticas como disciplina científica, teniendo como representantes intelectuales a Guy Brousseau, Gérard Vergnaud, entre otros. Bajo estos cambios se identifican los períodos 1 y 2:

1. Periodo 1: 20 libros editados entre 1940 y 1973. Se encuentran los libros que definen los cambios que instala la textualización con el Plan Rothe, pasando de los libros de Aritmética, Geometría, Álgebra, Trigonometría, etc.; a la edición de libros para estudiar Matemática.

2. Periodo 2: 34 textos editados entre 1974 y 1994. A diferencia de los anteriores, estos libros adaptan el saber conforme a las características de la Matemática, según la Reforma de las Matemáticas Modernas. En este periodo “aparecen”, en muchos casos algunas situaciones que les dan sentido a las obras, al menos para iniciar los capítulos, como consecuencia del desarrollo de la TSD.

En 1993 se sanciona la Ley Federal de Educación. Hasta este momento, en Argentina, los niveles educativos previos al superior se organizaban a partir de un ciclo de nivel inicial de tres años no obligatorio, siete años de escuela primaria y cinco años correspondientes al nivel medio. Con la sanción de esa ley, la enseñanza primaria -denominada Educación General Básica (EGB)- se lleva a nueve años (EGB1 de 1.° a 3.er año, EGB2 de 4.° a 6.° año y EGB3 de 7.° a 9.° año), y la antigua Educación Secundaria de cinco años se reduce a tres, y se denomina polimodal, porque posee orientaciones o modalidades. Es decir, se reorganiza la Educación Secundaria y se eliminan también las antiguas modalidades y orientaciones. Con mayor impacto se instala la transferencia administrativa y económica de la Educación Primaria y Secundaria del Estado nacional a cada una de las 29 provincias de Argentina. Esto conduce a la atomización del sistema educativo en diversos subsistemas, a diferencias considerables entre las provincias con mejores condiciones económicas y las de menores recursos, que ahora deben sostener la educación con sus presupuestos, y al posterior fracaso, dado que la supuesta inclusión que se propone con una escuela primaria obligatoria de nueve años profundizó las diferencias entre los sectores sociales del país, en función del carácter asimétrico que asumió su implementación, a tal punto que muchos estudiantes no completaron este nivel educativo elemental. La reforma trae también una sustitución casi completa de los libros de la enseñanza Secundaria, que se reemplazan por los editados para la EGB3 y el polimodal, cuyo alcance es nacional y no se especifican diferencias en libros para cada provincia. Cabe aclarar que, a pesar de la generación de orientaciones, los libros de matemática son los mismos para todas ellas. Esta etapa constituye el periodo 3 del estudio:

Periodo 3: 84 textos editados entre 1995 y 2007. Se editan masivamente libros adaptados a la reforma con la intención de sustituir a los del periodo anterior. Se incluyen los libros hasta el 2007, porque en 2006 la ley fue derogada.

La Ley de Educación Nacional se sanciona en 2006. Se regresa a la estructura clásica en la organización para la Educación Primaria de seis años y de la Secundaria (que se constituye como el nivel medio) con seis a siete años, según la modalidad y jurisdicción provincial, pero que regula una organización mínima de saberes que deja de ser específico de las provincias, y se plantea algo general. Esta reforma vuelve a afectar a la textualización, pero a diferencia de otros periodos, la mayoría de los textos son avalados por el Ministerio de Educación de la Nación Argentina.

Período 4, 50 libros editados entre 2008 y 2020. Se identifican aquí los textos sugeridos por el Ministerio de Educación para el nivel secundario actual.

Respecto a la muestra seleccionada para el análisis, es importante mencionar que, en los dos primeros periodos, los libros escogidos casi se corresponden con el universo disponible, ya que, en los primeros cincuenta años considerados, la cantidad de libros existentes resultaba limitada por las características propias de la industria editorial, que se fueron modificando considerablemente con el desarrollo de las tecnologías de la información y de las comunicaciones (TIC). Las reformas que se gestan en el país en 1990, y más tarde la de 2007, producen una edición masiva de libros de texto, motivo por el cual, entre los ejemplares disponibles en estos últimos dos periodos, se seleccionaron los que mejor describen el conjunto, según el criterio de saturación teórica; es decir, no se incorporan textos al análisis cuando no agregan información. Por otro lado, desde el periodo 2, los libros son considerados universales, dado que con la reforma que se instala con el Plan Rothe, no solo desaparece el estudio por áreas y corresponde estudiar matemática, sino que los bachilleratos se plantean con orientaciones diferentes, y los títulos se otorgan con mención a dichas orientaciones, entre ellas: letras, ciencias biológicas, ciencias fisicomatemáticas, agraria, docencia, perito mercantil, metalúrgica, aviación, etc.

Actualmente, la escuela Secundaria Superior en Argentina se organiza también en torno a once orientaciones: agro y ambiente, arte, ciencias naturales, ciencias sociales y humanidades, comunicación, economía y administración, educación física, informática, lenguas, literatura, turismo. Pero la matemática propuesta en cada orientación no cambia, es parte de la formación común, y en este sentido también los libros actúan como universales, dado que no se editan para alguna orientación en particular. También en el periodo 1 los libros para estudiar Álgebra, Aritmética, Geometría, etc., son los disponibles y los que aparecen como recomendados en los planes de las Escuelas Nacionales, de Comercio y Normales, por ejemplo; aun cuando los perfiles de dichas escuelas tienen alcances y objetivos muy diferenciados. Esto explicaría que los cambios en los libros se producen con las reformas y a la vez son únicos para cualquier orientación en el nivel medio.

Por otro lado, y por tratarse de un análisis transpositivo, es fundamental seleccionar una praxeología local y analizar sus transformaciones en cada periodo. Una praxeología local que permaneció en el currículum y en los libros durante los ochenta años considerados en el análisis, y dicha praxeología corresponde a lo que usualmente se denomina función cuadrática o función polinómica de segundo grado. En los primeros programas o diseños curriculares (los del periodo 1) aparece como parábola propiamente dicha o ecuación cuadrática; sucesivamente fue cambiando, y en los dos últimos periodos, directamente se la designa función polinómica de grado 2. Esto no se debe a un simple cambio de denominación, sino que tiene implicancias directas en el tratamiento del saber, por ejemplo, en lo relativo a la parábola y sus puntos notables. En los dos últimos periodos, el estudio de la función polinómica de grado 2 se realiza a partir de la fórmula en la forma polinómica de dicha función; en ocasiones, las representaciones analíticas equivalentes, mientras que la gráfica se reduce a una tabla de valores para conocer algunos puntos y graficar.

Frente a la pregunta “¿Por qué analizar aquí las transformaciones de la praxeología local función polinómica de grado 2 y no otra que ha permanecido en el tiempo?”, podemos decir que esto se corresponde con el énfasis con que esta praxeología aparece de algún modo en el diseño curricular actual de la escuela Secundaria de la Provincia de Buenos Aires, dentro del bloque denominado Álgebra y Estudio de Funciones, que es transversal a cuatro de los seis años de la escuela Secundaria. En 3.^er año (estudiantes entre 14 y 15 años) se propone como un ejemplo de funciones a estudiar a partir de fórmulas, tablas y gráficos, y en el dominio del “estudio de funciones”, que incluye análisis de dominio, imagen, conjuntos de positividad y negatividad, ceros, máximo o mínimo a partir de observar una representación gráfica dada, según se propone como modelo en el mismo programa. En 4.º año (estudiantes entre 15 y 16 años) se prescribe estudiar: ecuaciones de segundo grado, funciones cuadráticas (lectura de gráficos y dominio, expresiones algebraicas equivalentes de la función cuadrática). En 5.º año (16 a 17 años) se deben estudiar las funciones polinómicas: ceros, gráficos; entre las cuales se incluyen también las de grado 2. En 6.º año (estudiantes entre 17 y 18 años) se indica “estudio completo de funciones sencillas” y nuevamente las funciones polinómicas de grado 2 son reencontradas. Es decir que fácticamente esta praxeología se repite en el currículo de la escuela Secundaria, sin distinción de orientaciones y sobrevive a todas las reformas; por tal razón, resulta apropiada para analizar cómo su estudio se propone y transforma en los libros escolares durante ochenta años.

El libro de texto es una referencia privilegiada para el profesor, no solo para la preparación de sus clases sino como un recurso para la clase en el aula. Los profesores o bien seleccionan un único libro, o proponen una recopilación que incluye partes de libros. Las actividades que proponen a sus estudiantes están incluidas en los libros o en sus propios trabajos prácticos que en general se constituyen a partir de la recopilación de estos; situación que se confirma en una investigación que recaba información acerca de los recursos que los profesores utilizaron para desarrollar la enseñanza en línea, donde estos reconocen que los recursos son los mismos, solo que los digitalizaron para tal fin. Con relación al año de la escolaridad para el que están dirigidos los libros de texto, la totalidad se organiza en torno a una clasificación determinada por lo que actualmente se reconoce como el ciclo básico (libros dirigidos a estudiantes entre 12 y 14 años), el ciclo superior de la Enseñanza Media (entre 15 y 17 años) y los libros de preparatoria para el ciclo superior (alrededor de 18 años). Los resultados de la investigación (Llanos y Otero, 2018) confirman que el año de escolaridad no es una característica significativa a la hora de definir el libro de texto. Por otro lado, teniendo en cuenta que las reformas educativas instalan modificaciones en los diseños curriculares con relación a la organización del saber, pero no con relación a los saberes que finalmente se incluyen en los mismos, por tratarse de un estudio traspositivo carece de considerar el año es escolaridad al análisis.

Análisis de los libros escolares

En la tabla 2, se sintetizan las características generales de los libros en cada periodo. En primera instancia se completa la tabla y se detallan los componentes ausentes del bloque práctico-técnico o tecnológico-teórico que se pierden y ya no están en los libros, los cuales fueron indicados con “no se encuentra” o “sustituido por”. Esta descripción, a modo de análisis de la tabla para cada periodo, se corresponde estrictamente con la noción de praxeología local [T _i /τ _i /Θ/θ].

Tabla 2: Análisis praxeológico de cada periodo

En los libros del periodo 1, asumiendo la definición de praxeología, podemos decir que la propuesta de estudio se realiza de manera completa, en torno a las praxeologías locales lugar geométrico de la parábola, ecuación de la parábola con eje simetría paralelo a los ejes y función polinómica de segundo grado en una variable. Las mismas se desarrollan por recurrencia a técnicas de geometría sintética y analítica, álgebra, aritmética. Entre los principales géneros de tareas se identifican: construir, demostrar, analizar, probar, calcular, resolver. Los componentes de la praxeología que predominan son:

• 1. T: construir una parábola (construcción mecánica y por puntos a partir de la fórmula). Obtener la ecuación de la parábola. Representar gráficamente la función (dada la fórmula). Calcular parámetros y puntos notables (vértice, eje de simetría, focos, directriz). Analizar las variaciones de parámetros. Resolver ecuaciones cuadráticas (analítica y gráficamente).

• 2. τ: se proponen diferentes técnicas para cada tipo de tareas (T). Por ejemplo, para construir la parábola: utilizar regla, compás y cuerdas de diferente longitud; para obtener rectas paralelas y perpendiculares y para determinar directriz y foco: utilizar la noción de distancia y técnicas geométricas; para construir la parábola dada la fórmula: calcular foco y directriz, vértice, eje de simetría, puntos de intersección con el eje x y representar dichos puntos y la parábola.

• 3. En los libros de este periodo, el entorno de justificación [θ/Θ] se basa en la estructura: definición, teorema, demostración, corolarios del teorema. Es decir, cada componente del bloque [T/τ] es validado matemáticamente de manera relativamente formal.

Tal como se describe en la tabla 2, en estos libros convive un análisis geométrico, analítico, algebraico y, en menor medida, aritmético. Se proponen al final del capítulo actividades con el objetivo de trabajar las técnicas propuestas por los textos.

En el periodo 2, los libros sugieren un estudio de la praxeología que estamos analizando con menor énfasis en el sistema geométrico, y mayor preponderancia del marco funcional. La praxeología local funciones polinómicas de grado 2 incluye los tipos de tareas: graficar la función polinómica de segundo grado (parábola), escribir sus representaciones algebraicas equivalentes y resolver ecuaciones cuadráticas en una variable. Dichas tareas se efectúan por medio de técnicas algebraicas de cálculo, analíticas y, en menor medida, aritméticas. Los principales géneros de tareas que se identifican son: graficar, analizar, observar, calcular. Los componentes praxeológicos predominantes son:

• 1. T: dada una función polinómica de grado dos en su forma completa, elaborar su representación gráfica, analizar las variaciones de los parámetros de la función polinómica de grado 2. Obtener las representaciones algebraicas equivalentes de la función, como la forma canónica y factorizada y resolver ecuaciones cuadráticas.

• 2.τ: se proponen diferentes técnicas para cada tipo de tareas (T). Para graficar se construye una tabla de valores, donde la variable independiente adopta solo números enteros; es decir, se varían de manera controlada los parámetros de la forma polinómica y se calculan las coordenadas de los puntos notables. Las técnicas propuestas por el libro para resolver las ecuaciones cuadráticas son: la técnica de Bhaskara, la técnica de completar cuadrados, la de extraer factor común por grupos, y también por análisis del discriminante.

• 3. En cuanto al entorno de justificación [θ/Θ], los libros reducen el formalismo y la estructura del periodo anterior (teorema, demostración, corolarios del teorema), pero igualmente cada componente del bloque [T/τ] es definido y justificado, por ejemplo, la fórmula de Bhaskara se deduce algebraicamente de manera general. Se observa que en el texto se solicita explícitamente a los estudiantes una justificación de cada técnica empleada para resolver las tareas que se proponen.

A diferencia del periodo 1, el estudio de la parábola no se encuentra junto al espacio asignado por los libros al lugar geométrico, porque se enfatiza el marco algebraico y el tratamiento de la parábola como una función. En la tabla 2 se muestra que primero aparecen técnicas aritméticas para elaborar las tablas de valores para graficar y, posteriormente, se proponen desarrollos en el marco analítico y algebraico para determinar los puntos notables y las características de la gráfica. Además, se presentan ejercicios orientados al momento del trabajo de la técnica en los casos propuestos.

En el periodo 3, los libros también proponen un estudio funcional de la parábola, a la vez que reducen más el formalismo y la exhaustividad del periodo anterior (Llanos y Otero, 2018). Los tipos de tarea permanecen: graficar la función (parábola), reconocer las representaciones algebraicas de la forma canónica y factorizada, como si fueran objetos separados y ecuaciones cuadráticas. Se otorga más importancia a las técnicas aritméticas para graficar, se reduce el formalismo matemático y se reemplaza la notación algebraica por escritura en lenguaje natural, más descriptivo. El cálculo algebraico se reduce. Los principales géneros de tareas que se identifican son: observar, reconocer, identificar, indicar, graficar. Los componentes de la praxeología que predominan son:

• 1. T: dada una función polinómica de grado 2, obtener su representación gráfica. Observar e identificar los desplazamientos de las gráficas a partir de los distintos parámetros. Obtener las representaciones algebraicas de la función en las formas canónica y factorizada dada la polinómica. Resolver ecuaciones cuadráticas utilizando solo la fórmula de Bhaskara.

• 2.τ: se propone una única técnica para cada tipo de tareas. Por ejemplo: para graficar, la técnica es elaborar una tabla de valores; para analizar las transformaciones en las gráficas, la técnica es observar los desplazamientos; para calcular los ceros de la función cuadrática, la técnica consiste en usar la fórmula de Bhaskara, etc.

• 3. El entorno de justificación [θ/Θ] mayoritariamente consiste en proposiciones en lenguaje natural, que se asumen como verdaderas, por ejemplo: “todas las ecuaciones cuadráticas se pueden resolver aplicando la fórmula de Bhaskara”.

Una diferencia con los periodos anteriores es que estos textos se orientan más a ejercitar las técnicas formuladas como indicaciones, que al cuestionamiento de las mismas, discusión de su alcance y a la justificación de su validez. En la tabla 2, se detalla la progresiva reducción del entorno tecnológico-teórico, que se limita a referencias ostensivas a una fórmula, con casi nula justificación y a la sustitución de la escritura matemática por el lenguaje natural. El libro se transforma en una “carpeta de actividades” en la que se ejercitan ciertas técnicas, que son específicas de cada tarea, y de este modo, se reduce considerablemente la información que se brinda.

Los libros del periodo 4 son carpetas de actividades. Si bien las diferencias respecto del periodo anterior no son notables, se identifican algunos cambios concernientes al nivel de justificación. En estos, el entorno tecnológico-teórico se reduce a una definición, y en este sentido se agrega que la justificación de una definición no es una validación o justificación en sí misma. Por tal motivo, se hace referencia a que los libros de este periodo carecen de discurso tecnológico. Por ejemplo, en el libro la ostensión de los ceros sería un discurso tecnológico, pero tiene un carácter fuertemente implícito, o sea, no es un discurso, o es apenas un germen de discurso. En general, se define la función polinómica de grado 2 a partir de la forma polinómica con sus parámetros a, b y c. Hay preponderancia de un estudio basado en técnicas aritméticas y ausencia de la escritura matemática que se remplaza por la lingüística. Los principales géneros de tareas que se identifican son: observar, señalar, indicar, resolver, graficar. Los componentes de la praxeología que predominan son:

• 1. T: graficar la función dada la fórmula, completando una tabla de valores. Señalar el vértice y el eje de simetría dada la gráfica. Obtener la forma canónica dadas las coordenadas del vértice. Obtener la forma factorizada dados los ceros. Encontrar las ecuaciones cuadráticas para la solución de una ecuación incompleta (b o c igual a 0), para la solución en la forma canónica y en menor medida para la ecuación cuadrática completa (todos los parámetros distintos de cero).

• 2.τ: se propone una única técnica para cada tipo de tareas. Por ejemplo, para graficar, la técnica es generar una tabla de valores; para analizar las características de las gráficas, la técnica es observar y marcar algunos puntos; para calcular los ceros la técnica es “despejar la x” (dado que en este periodo la mayoría de las ecuaciones que se proponen son incompletas), y solo en algunos libros, la técnica es reemplazar los valores de los parámetros en “la fórmula” de Bhaskara, etc.

• 3. El entorno de justificación [θ/Θ] se reduce a la definición de los saberes. A lo sumo se propone una “explicación” con ejemplos, aunque solo en algunos casos. Entre las explicaciones se identifican, por ejemplo, “si la función está expresada en forma polinómica buscamos el simétrico de la ordenada al origen y obtenemos los ceros y el vértice”.

Los libros de este periodo podrían definirse como carpetas de actividades incompletas. La tabla 2 evidencia una reducción del entorno tecnológico-teórico a la definición de los saberes incluidos en el libro, en el sistema lingüístico, reduciendo considerablemente el nivel de formalización propio de la matemática. Solo se proponen actividades para practicar, que en general requieren de respuestas numéricas.

Resultados y discusión

En primer lugar, se realiza una descripción de las diferencias entre los libros de cada periodo, que se sintetizan en la tabla 3. Se coloca un (+) para las características y elementos que se agregan entre un periodo y el siguiente, y un (-) para identificar lo que se pierde.

Tabla 3: Cambios en el tiempo

En los periodos 1 y 2 los libros proponen un estudio relativamente completo de la función de segundo grado (en sus tres expresiones). Las parábolas se estudian primero en el marco geométrico sintético, geométrico analítico y algebraico (funciones y ecuaciones). Se proponen definiciones apropiadas, se analizan de manera relativamente completa las fórmulas de cada forma y los parámetros asociados a ellas. Se justifica el pasaje de una forma a la otra, así como las características de la parábola y sus puntos notables. El entorno tecnológico-teórico justifica de manera detallada las técnicas desarrolladas a partir del cálculo algebraico y se obtienen las expresiones algebraicas equivalentes conocidas como forma polinómica, canónica y factorizada. Se emplea la técnica de completar trinomios cuadrados perfectos. Además, se formulan genéricamente las relaciones entre los parámetros de una y otra forma con cualquier valor de -parámetro que es común a las tres formas- y con el resto de los parámetros característicos de cada una de ellas. Es decir que los libros de estos periodos permitirían el estudio de la praxeología parábola en distintos niveles de profundidad. Vale la pena señalar que, en estos periodos, los mismos libros se usan en todo el territorio nacional, aun cuando la reforma traspasó la responsabilidad educativa a las provincias.

En el periodo 3, se produce una readaptación y continuidad de la reforma educativa, la obligatoriedad de la escolaridad se extiende y existe una mayor demanda sobre la escuela Secundaria y aumentan los índices de fracaso en este nivel. Los libros de este periodo se reemplazan por un tipo diferente de texto, que podríamos denominar “carpetas de ejercicios”. La característica central de este recurso es el incremento de tareas prácticas y la reducción del entorno tecnológico teórico, así como la sustitución de los sistemas de representación matemáticos por un discurso escrito en lenguaje natural. Se produce un empobrecimiento del libro escolar como sistema de información matemática, tanto en la reducción de los tipos de tareas que se proponen como en las nociones matemáticas que se enseñan. El saber se presenta de manera más recortada e inconexa, dando lugar a las llamadas actividades, que declinan en realidad en meros ejercicios de aplicación de las definiciones ofrecidas y de las técnicas que se proponen como enunciados verdaderos, sin dar razón de su utilidad, necesidad, alcance, limitación etc. Así, se encuentran enunciaciones que, por ejemplo, promueven la ostensividad y señalan el vértice: “Los gráficos de las funciones cuadráticas tienen siempre un eje de simetría vertical. Marquen con rojo el punto donde la parábola corta al eje de simetría. Ese punto es el vértice”.

Se destaca que no se promueven tareas para el análisis de una simetría en la gráfica de la parábola, lo cual podría constituir algún tipo de justificación; ni tampoco con relación a la fórmula que permite calcular los ceros de las funciones polinómicas de grado 2: “Todas las ecuaciones cuadráticas pueden resolverse con la fórmula de Bhaskara”.

En el mismo sentido, tampoco se identifican tareas donde se explore la equivalencia entre las diversas expresiones algebraicas de una misma función cuadrática, ni de las diferentes informaciones que ofrece cada forma de escribir dicha función, como: “Para obtener la forma canónica reemplazar las coordenadas del vértice en la fórmula”; “Si resuelvo Bhaskara y encuentro las raíces, reemplazo en la fórmula y obtengo la forma factorizada”.

En general, en los libros de este periodo, la fórmula de Bhaskara se propone como una técnica universal excluyente y autoevidente para obtener los ceros y el vértice de la parábola. Cuando b=0 se prescribe: “si la ecuación no tiene término lineal, se despeja directamente la x”; o si c=0 se indica: “extraer factor común x”. En estos casos no hay justificación ni cuestionamiento de técnicas, pues estas son únicas.

En el periodo 4, el empobrecimiento del entorno tecnológico-teórico es aún más notorio que en el periodo 3, porque la mayoría de los libros solo contienen ejercicios, y alguna definición. El estudio de la función polinómica de segundo grado comienza por una definición de la función polinómica de grado 2. Luego, se ofrecen ejemplos, en los cuales, mayoritariamente las funciones tienen como coeficiente principal a = 1, y el resto de los parámetros se escogen para que las parábolas tengan un cero en el origen de coordenadas. Esta decisión tiene por objeto evitar el uso de la fórmula de Bhaskara, lo cual facilitaría obtener las raíces. Los puntos notables de la curva se proponen de la siguiente manera, eludiendo la simbolización matemática:

cada parábola presenta un eje de simetría vertical, y sobre él, un punto llamado vértice en el que la curva pasa de ser creciente a decreciente o viceversa. Los ceros son las abscisas de los puntos de contacto entre su gráfica y el eje x.

Como se ha indicado, también en algunos libros desaparece la fórmula de Bhaskara, como ya se había notado desde el periodo 3. Así, algunos textos obtienen las raíces igualando a cero la forma canónica con a = 1, utilizando solo las expresiones en las que esto es posible, sin explicitar que se trata de un caso muy particular. Otros textos, cuando c = 0, tratan la forma polinómica incompleta y la factorizada, y eliminan la forma canónica. En otros también se excluye la factorizada. Por supuesto que esta eliminación de la forma polinómica completa por las reducidas mencionadas antes, genera un estudio simplista de la función polinómica de grado 2, tal vez a los efectos de hacer una comprensión más sencilla de estudiar esta función, sin tener en cuenta las consecuencias de esta reducción, pues no dejan de ser casos particulares de la función en cuestión.

Al cabo de ochenta años, se han producido cambios sociales que impulsan reformas educativas, como las que sirven de hilo para analizar la textualización con relación a la misma praxeología matemática. La masificación de la escolaridad Secundaria que se origina en la obligatoriedad, junto con el traspaso de las decisiones educativas y del financiamiento educativo a las provincias, incrementó, por un lado, las exigencias sobre la escuela, sin ofrecer los recursos de diversa índole que permitirían satisfacerlas. Si bien las nuevas reformas intentaron orientar la Educación Secundaria a los intereses de los alumnos, esto no se evidenció en la práctica, pues ciertos saberes permanecieron y permanecen en los programas, como un inventario, sin reflejar la necesidad de tales saberes en las modalidades propuestas. Por esa razón, los libros que se editan son los mismos para todas las jurisdicciones y modalidades.

Esto tampoco es independiente del nivel de la pedagogía, en el cual el paradigma dominante es el de la visita de las obras, donde el lugar del alumno está muy reducido. Si bien este continúa siendo el paradigma dominante, y suele decirse que está en extinción, y que sus insuficiencias se manifiestan por todos lados, en la práctica “goza de buena salud”, y las reformas no lo afectan. Los libros, nuevos y viejos, son funcionales al paradigma monumental, aun cuando las actividades son un paliativo al hecho de que los alumnos tienen que tener algún tipo de papel activo en su aprendizaje. Sin embargo, las actividades han declinado en ejercicios. En el mismo sentido, la reducción del simbolismo matemático expresado en el retroceso del cálculo algebraico al que hemos hecho referencia, aun en el sexto y último año de la Educación Secundaria, obedecería a razones propias del nivel de la pedagogía que propician la enseñanza de una matemática más sencilla, a la que se accede reduciendo el papel de ciertos aspectos del álgebra escolar. Aun cuando todas las orientaciones tienen un bloque denominado “álgebra y funciones”, donde está incluida la parábola.

Por otro lado, la sustitución de los libros por las carpetas de ejercicios también podría entenderse como una cuestión económica del nivel de la sociedad volviendo a los libros más accesibles a todos los sectores, o como una manera, a nuestro juicio errónea, de enfrentar las críticas al tándem pedagógico: definición, ejemplificación, ejercitación, propio de la enseñanza monumental.

Esta transformación en el tiempo de los libros como un sistema de información relativamente completo -donde las praxeologías se proponen razonablemente con todos sus componentes, hacia las carpetas de actividades prácticas- requiere que la información se busque en otro sitio. Podríamos pensar que el surgimiento de internet y su masificación justificaría esto, siempre y cuando la enseñanza promueva la utilización y el cuestionamiento de todos los medios o sistemas de información disponibles, hecho que por el momento no ocurre, ya que el paradigma de enseñanza dominante no promueve el cuestionamiento del saber.

En todos los periodos considerados, el análisis de los parámetros en cada una de las formas equivalentes (polinómica, canónica y factorizada), se apoyó en la visualización de la gráfica, con variantes en los niveles de justificación y análisis entre los periodos. Y más allá de los niveles de justificación, lo que varía, sobre todo a partir de los dos últimos periodos, se relaciona con la emergencia de las TIC, y su uso supuestamente masivo. Tal es el caso de los libros actuales, que requieren del software libre GeoGebra como parte de las actividades, entre las que se solicita, dada una fórmula, graficar utilizando el software, observar la gráfica, o simplemente señalar por ejemplo el vértice o los ceros en la gráfica, sustituyendo la solución analítica. En este último caso, debido al uso que se hace del software, la ostensividad aumenta y el análisis puede empobrecerse, si no existe cuestionamiento. Con esto no dejamos de valorar el potencial de las TIC; por el contrario, enfatizamos en la importancia de realizar un estudio por medio de estas herramientas como soporte visual para un estudio más completo de las funciones.

Con relación a la persistencia de la praxeología de la parábola, mencionamos nuevamente el hecho de que aquí se la selecciona, solo a modo de ejemplo para describir las características que son comunes a las demás praxeologías que forman parte del saber de referencia incluido en los libros para la escuela Secundaria argentina. Pero la elección se justifica por la insistencia para su estudio en alguna de sus formas, en cuatro de los seis años de la escuela Secundaria en Argentina, y por tanto su inclusión en los libros de texto en los diferentes años de la escolaridad. En consecuencia, confirmamos que en este trabajo no se busca sostener la relevancia de estudiar o no la función polinómica de segundo grado en la escuela Secundaria o cualquier conocimiento. Más bien interesa poner en evidencia el empobrecimiento del saber ocurrido a lo largo de las transformaciones de la textualización en el tiempo. Si bien todos los textos responden a las reformas educativas originadas en la noosfera, los del último periodo son avalados por el Ministerio de Educación, y en la mayoría de los casos, distribuidos gratuitamente a los profesores, que son quienes los utilizan y recomiendan a los estudiantes.

Conclusión

En este trabajo se analizó cómo la textualización trata y transforma a las praxeologías locales vinculadas a las funciones polinómicas de segundo grado, parábola y ecuaciones cuadráticas a lo largo de ochenta años, según los cambios de sucesivas reformas educativas de la Educación Media en Argentina. Si bien la praxeología mencionada siempre está en los textos, la propuesta resulta cada vez más empobrecida. Así, en los libros del último periodo, es difícil encontrar elementos del entorno tecnológico-teórico en los cuales se advierta una justificación acorde con el nivel de la escolaridad donde debe ser enseñada. Las consecuencias de esta desaparición no son inocuas, sobre todo, si se considera que el paradigma de enseñanza tradicional permanece intacto. Esta reducción, supuestamente reemplazada por tareas prácticas, que solo son ejercicios, sería la respuesta noosférica a la necesidad de acercar las matemáticas a los estudiantes, teniendo en cuenta que los textos del último nivel son producidos por la noosfera. En tal caso, cabría cuestionarse la pertinencia de esta y otras praxeologías en el currículo. Por otro lado, el abandono de los libros como sistemas de información relativamente completos sería admisible, si se acepta la necesidad de instalar en la enseñanza un nuevo paradigma, el de la investigación y del cuestionamiento, donde todos los sistemas de información (libros, internet, software, etc.) deben ser cuestionados antes de ingresar al medio didáctico.