Metacognición y resolución de problemas matemáticos 

Introducción

La presente experiencia investigativa hace parte del proyecto titulado “Estrategias para fortalecer la competencia de resolución de problemas matemáticos en estudiantes que inician la formación universitaria en la UPTC-Duitama”, con código SGI 2443 ante la Dirección de Investigaciones de la UPTC. Este estudio está liderada por el grupo de investigación Edumaes, perteneciente a la Escuela de Matemáticas y Estadística de la Facultad Seccional Duitama, interesado en abordar el campo de la resolución de problemas (RP), particularmente en responder la pregunta ¿Cuáles son los procesos metacognitivos que activan y manifiestan los estudiantes cuando resuelven problemas? Es por esto que Edumaes se da a la tarea de construir y validar un cuestionario que permite identificar en un grupo de estudiantes del Colegio Nacionalizado la Presentación-Duitama las estrategias metacognitivas activadas en el momento de resolver problemas en matemáticas. Se pretende aportar elementos metodológicos para la elaboración de un cuestionario, además de referentes teóricos y consideraciones que permitan reconocer la metacognición como factor esencial en el aprendizaje consciente, autorregulado y controlado por el estudiante.

Antecedentes

El estudio se soporta teóricamente en Schoenfeld (1985) , haciendo referencia a procesos metacognitivos que pueden surgir en el proceso de la RP, sumado a Flavell (1979) , para quien la metacognición es el conocimiento propio y de control sobre procesos cognitivos de una misma persona. Reconocer estos procesos generará estrategias para que los estudiantes resuelvan problemas de manera más eficiente. Socas et al. (2014) afirman que los estudiantes utilizan procesos que en la mayoría de ocasiones llevan a soluciones incorrectas, lo que evidencia carencia de estrategias metacognitivas.

Autores como Gusmao et al. (2014) , Bolívar (2016) , Fernández y Carrillo, (2014) , Jaramillo y Simbaña (2014) , Iriarte (2010) y Sierra (2010) , entre otros, se han preocupado por investigar la metacognición en el campo de la educación matemática y de la resolución de problemas matemáticos. Los instrumentos de medición en sus investigaciones han sido en su gran mayoría de tipo cualitativo, como cuestionarios, test y encuestas de preguntas abiertas.

A su vez, Huertas et al. (2014) , Jaramillo y Osses (2012) , Cevallos et al. (2016) , entre otros, orientan sus investigaciones al diseño y la validación de cuestionarios que permitan conocer las habilidades y los procesos metacognitivos que se usan de manera general. Esta es la motivación para diseñar y validar un cuestionario que permita alcanzar el objetivo de identificar procesos metacognitivos que utilizan los estudiantes para resolver problemas matemáticos y así conocer dichas estrategias específicamente en el campo de la Educación Matemática y la RP; además, que este cuestionario sea útil para contrastar y corroborar los resultados obtenidos en investigaciones similares a la planteada.

Marco teórico

Metodología

El estudio se enmarca en un enfoque cuantitativo descriptivo, que según Sampieri et al. (2014) es secuencial y probatorio. Se realiza un análisis interpretativo de datos, de tal modo que se hagan inferencias sobre este grupo de estudiantes frente a procesos metacognitivos en la RP.

Técnica

La Figura 1 muestra el procedimiento para el diseño y la validación del CEMRPM.

Figura 1: Diseño y validación del CEMRPM

Fuente: elaboración propia.

Prueba Piloto

Se realizó una prueba piloto, con el fin de verificar si los enunciados eran adecuados y comprensibles, si era correcta la categorización de las respuestas según la escala, si existía resistencia psicológica o rechazo hacia algunas preguntas, si la duración estaba dentro de lo aceptable por los estudiantes, entre otros aspectos (Arribas, 2004). Se aplicó a quince estudiantes de grado décimo elegidos aleatoriamente y se obtuvieorn sugerencias en la redacción de la información general, específicamente en las instrucciones para contestar la prueba.

Fiabilidad

Para corroborar la fiabilidad de un cuestionario, se llevan a cabo los análisis de consistencia interna, con el objeto de dotar de significación las preguntas que lo conforman. Al respecto, se debe impulsar al estudiante hacia la RP por medio de preguntas que favorezcan la asimilación de nuevos aprendizajes (Burbano et al., 2020). Para determinar la fiabilidad del instrumento, se calculó el coeficiente alfa de Cronbach; para la prueba piloto se obtuvo como resultado un coeficiente por debajo de 0,7, por tanto, se decidió eliminar cuatro preguntas que presentaban demasiada variabilidad. Así, el cuestionario se dejó de veinte preguntas para lograr su fiabilidad.

Tabla 3: Alfa de Cronbach para la fiabilidad y validez de CEMRPM

Alfa de Cronbach	Número de elementos
0,736	20

Fuente: elaboración propia.

Validez

Para realizar la validez de contenido y constructo se pidió a docentes investigadores en Educación Matemática y Estadística que emitieran un juicio al respecto. Ellos sugirieron reescribir algunos ítems, de manera que tuvieran mayor concordancia con el marco teórico.

Finalmente, el cuestionario quedó constituido como se muestra en las tablas 4 a 7, donde se resaltan los ítems por categorías.

Tabla 4: Enunciados de la dimensión Planificación

Mientras resuelvo el problema, organizo el tiempo para poder dar una solución.

Identifico los datos del problema y lo que me preguntan, antes de iniciar la resolución.

Se me facilita recordar la información que me presenta el enunciado para emplearla en la solución de un problema.

Pienso en distintas maneras de resolver un problema y escojo la mejor.

Cuando el profesor plantea un problema, lo primero que hago es decirle al profesor: ¿qué debo hacer?

Cuando leo el problema, soy consciente de si he comprendido o no lo que debo hacer.

Leo cuidadosamente las instrucciones que me da el profesor antes de resolver un problema.

Cuando la información del problema es confusa, o no está claro lo que debo hacer, me detengo a leer cuantas veces sea necesario para poder comprender.

Fuente: elaboración propia.

Tabla 5: Enunciados de la dimensión Regulación

Me pregunto constantemente si estoy alcanzando la solución al problema que me propone el profesor de matemáticas.

Intento utilizar estrategias que me han funcionado a la hora de resolver un problema.

Siento tranquilidad cuando el profesor en un problema indica exactamente qué debo hacer.

Cuando resuelvo un problema, me pregunto si he tenido en cuenta todos los datos proporcionados.

Aprendo mejor cuando ya conozco algo sobre el tema que trata el problema o he resuelto uno parecido.

Me invento mis propios ejemplos, hago dibujos, represento la información asociada al problema para poder entender mejor lo me que pregunta el problema.

Cuando estoy resolviendo el problema y no entiendo, me distraigo con facilidad y no logro resolverlo.

Fuente: elaboración propia.

Tabla 6: Enunciados de la dimensión Evaluación

Cuando termino de resolver un problema, soy consciente de si lo hice bien o mal.

Dudo siempre de mis procesos y espero en lo posible que el profesor o un compañero valide mi respuesta.

Cuando termino de resolver un problema, me pregunto hasta qué punto he logrado mis objetivos.

Cuando resuelvo el problema intento expresar con mis propias palabras los procesos que voy haciendo.

Me pregunto si lo que estoy leyendo del problema está relacionado con el tema visto actualmente en clase.

Fuente: elaboración propia.

Resultados y análisis

El análisis estadístico se realizó por medio del software estadístico SPSS en su versión de prueba. Este programa tiene algoritmos de cálculo bastante fiables y muy contrastados con distintas aplicaciones (Peña, 2002). Igualmente, Bausela (2005) sostiene que es el más utilizado en investigación aplicada a las ciencias sociales.

Se procedió a construir la base de datos con la información obtenida de los veinte ítems por los 56 estudiantes, con el fin de ordenar, agrupar las respuestas por categoría y por dimensión para determinar su promedio. Se hizo un análisis descriptivo de los resultados por cada dimensión, representándolos de acuerdo con los diferentes procesos metacognitivos; se identificó la correlación existente entre las dimensiones y se procedió a definir si existe diferencia significativa entre las medias obtenidas por dimensión, con el fin de adelantar el respectivo análisis.

En la tabla 7 se muestran de manera general las respuestas obtenidas en el cuestionario, clasificadas por dimensiones.

Figura 2: Porcentaje de estudiantes según su respuesta por dimensión

Fuente: elaboración propia.

En la figura 2 se observa que el 98,2 % de los estudiantes ha utilizado alguna estrategia metacognitiva en el proceso de RP en matemáticas, solo el 1,8 % manifiesta que casi nunca ha utilizado dichas estrategias. Esto permite inferir que la mayoría de los estudiantes son conscientes de hacerlo y ponerlo en marcha; sin embargo, es interesante identificar que el 3 % asegura que utilizan siempre estas estrategias. Se identificó que las estudiantes se desempeñan en los dos primeros niveles de conciencia metacognitiva que clasifica Salam et al. (2020) , correspondientes al nivel táctico y consciente; es decir, las estudiantes son responsables de la toma de decisiones que asumen cuando resuelven un problema. Sin embargo, no es una decisión reflexionada y valorada como la mejor estrategia que pueda aplicar en ese momento, lo que le impide reorganizar, devolverse, verificar si fue el mejor camino de solución, o considerar otros posibles caminos. En caso de que arrojara desempeños en los niveles estratégico y reflexivo, se debe corroborar la información con instrumentos adicionales de tipo cualitativo que permitan ver la acción del estudiante. De manera general, se asevera que las estudiantes conocen su forma de actuar al enfrentarse a la actividad de RP, lo que Kovalčíková y Runčáková (2020) llaman funciones ejecutivas.

En la figura 3 se presenta el análisis detallado por cada dimensión.

Figura 3: Porcentaje de estudiantes según su respuesta por regulación

Fuente: elaboración propia.

En esta dimensión, el estudiante debe tener la capacidad de supervisar el proceso de resolución por el cual optó en la planificación. También debe resaltar la toma de decisiones para optimizar la estrategia si esta no está siendo favorable para lograr una solución exitosa. La figura 3 muestra que el 66,1 % de las estudiantes utilizan procesos en los que se incluyen el análisis, la reflexión y el control de las acciones que están llevando a cabo; además, reconocen los conocimientos previos que involucra el problema, al punto de realizar analogías en distintas representaciones de la información, como se evidencia en enunciados como “me invento mis propios ejemplos, hago dibujos, represento la información asociada al problema para poder entender mejor lo me que pregunta el problema, me pregunto constantemente si estoy alcanzando la solución al problema que me propone el profesor de matemáticas”. Por otra parte, el 33,9 % de las estudiantes que seleccionaron la categoría A veces concuerda con los ítems “cuando estoy resolviendo el problema y no entiendo, me distraigo con facilidad y no logro resolverlo” y “siento tranquilidad cuando el profesor en un problema indica exactamente qué debo hacer”. Si bien en este grupo de estudiantes solo una parte manifiesta a veces hacer uso de estrategias de regulación en su aprendizaje, podemos afirmar que esto no ocurre en otros grupos de estudiantes, de acuerdo con Ricardo et al. (2021) , la escuela tiene una deuda como institución sobre el desarrollo de habilidades metacognitivas: no se ha enseñado al estudiante cómo aprender a aprender, de manera que pueda lograr autonomía desde niño, que pueda reflexionar y gestionar su conocimiento y su forma de aprender.

Figura 4: Porcentaje de estudiantes según su respuesta por planificación

Fuente: elaboración propia.

La Planificación corresponde a la capacidad que tiene el estudiante de idear y elegir la mejor estrategia que le sirva para dar solución al problema matemático, teniendo en cuenta aspectos como la organización del tiempo, los conocimientos previos, las instrucciones y los datos que se proporcionan y la comprensión del enunciado. Esto coincide con la definición de esta dimensión, según la cual el estudiante planifica por sí mismo su estrategia de resolución.

La figura 4 muestra que para esta dimensión un 60,7 % de las estudiantes aseguran emplear procesos metacognitivos. Esto significa que leen y comprenden el enunciado del problema, identifican los datos proporcionados, reconocen con claridad lo que implica la pregunta que deben abordar y consideran diversas maneras de abordarla de acuerdo con su experiencia y conocimiento previos. En contraste, en el ítem “Cuando el profesor plantea un problema, lo primero que hago es decirle al profesor: ‘¿qué debo hacer?’”, se obtiene un 39,3 % de estudiantes que aseguran caer en esa situación. Esto implica que existe un buen número de estudiantes que luego de leer un problema y no comprenderlo, acu-den al profesor para que las oriente. Esto revela la dependencia que se genera hacia él; en muchos casos las prácticas en el aula están condicionadas al aval del profesor, reguladas por pautas de comportamiento y presión de cumplir un currículo.

Figura 5: Porcentaje de estudiantes según su respuesta por evaluación

Fuente: elaboración propia.

Para la dimensión relacionada con la Evaluación, las estudiantes tienen la capacidad de emitir juicios sobre las acciones y estrategias que emplearon en la actividad de RP y evalúan la efectividad y eficacia de sus procedimientos, que al ser positivos empleará en futuras resoluciones de otros problemas matemáticos; asimismo valida dichos procesos con el docente o algunos compañeros. Es así como en la figura 5 se advierte que el 64,2 % de las estudiantes seleccionan las escalas Siempre o Casi siempre, mientras que el 32,1 % asegura que exponen este tipo de juicios en algunas ocasiones, y el 3,6 % restante casi nunca evalúa sus procesos; con esto se evidencia que no en todas las ocasiones hay lugar a la reflexión sobre los resultados obtenidos. Estos resultados continúan reflejando las dificultades en el proceso de planificación; en la dimensión de evaluación, revelan que no verifican si la solución a la que llegaron valida el enunciado del problema. Esto, en gran medida, se presenta cuando como profesores no reflexionamos sobre el proceso de solución, y se da prioridad a revisar si la respuesta es correcta.

Conclusiones

Si bien el propósito de este artículo es aportar un instrumento para develar los procesos metacognitivos de un grupo de estudiantes, se constituye además en un aporte a la discusión relacionada con la resolución de problemas en matemáticas. De ahí que es relevante señalar que los resultados que arroja este o cualquier instrumento hallado en la literatura, debe conducir a reflexiones sobre las prácticas pedagógicas que se movilizan en el aula, en el sentido que los procesos de control o metacognición activados al resol-ver problemas van articulados al ambiente que se fomente alrededor de la enseñanza y aprendizaje. El resolver problemas en matemáticas, es una competencia que se evalúa constantemente en pruebas, y en la cual los estudiantes presentan dificultad, a pesar de que día a día el ser humano se enfrenta a diferentes problemas de su entorno con o sin matemáticas.

En nuestras aulas, los problemas en ocasiones aparecen desconectados de las realidades que viven nuestros estudiantes: en consecuencia, ellos no identifican cómo abordarlos, manifiestan actitudes y emociones negativas, e incluso llegan a presentar frustración y bloqueos frente al trabajo en matemáticas (Ricardo et al., 2021). Por tanto, la figura del profesor debe ser la de acompañante y orientador de procesos de desarrollo de pensamiento, que hagan competente al estudiante para resolver y crear nuevos problemas. Se debe trabajar a favor de dejar de lado la relación de dependencia del estudiante con respecto al profesor, en procura de formar un estudiante autónomo que tome decisiones, que desarrolle procesos metacognitivos y se apropie del conocimiento y lo haga útil en su contexto.

En la medida en que el estudiante confíe en sus habilidades y logre realizar un proceso continuo en la resolución de problemas hasta hallar una respuesta, que valide, tenga la capacidad de crear posibilidades que lo lleven a buscar la solución, identifique el conocimiento que se moviliza, tenga la capacidad de no rendirse y de detenerse a leer, revisar y comprender cuantas veces sea necesario, se podrá decir que un problema tiene el potencial de generar un desafío intelectual para él, de manera que su comprensión matemática y de la situación planteada aumenten (Cai y Lester, 2010, citados por Giaconi et al., 2018).

De la misma manera, Alsina y Coronata (2014) sostienen que la RP es una de las mejores formas de hacer matemáticas ya que implica la construcción de nuevo conocimiento, porque el estudiante reflexiona, aplica y adapta estrategias que favorecen la solución de una situación. Esto genera formas de pensar y despierta curiosidad y confianza, entre otras actitudes; en el mismo sentido, el modelo de vida actual requiere que los individuos actúen como resolutores de problemas en distintas facetas (Giaconi et al., 2018; Organization for Economic Cooperation and Development [OECD], 2014; Santos-Trigo, 2014).

En razón de lo expuesto y en coherencia con Siagan et al. (2019) y (Salam et al., 2020), es imperante que los profesores presten más atención a identificar los procesos y niveles metacognitivos de sus estudiantes, y que estos, a su vez, sean considerados como uno de los puntos de partida para la planificación de los procesos y ambientes de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas.

Por otro lado, la confiabilidad del cuestionario CEMRPM resultó de 0,736; sin embargo, la validez del cuestionario diseñado por Giaconi et al. arrojó un alfa de Cronbach de 0,85. En cualquiera de los dos casos, el índice de consistencia interna es significativo; afirmación sustentada por Sandman (1980) , quien en su investigación con respecto al instrumento tipo Likert Inventario de actitudes hacia las matemáticas encontró que el alfa de Cronbach debe oscilar entre 0,69 y 0,89, y consideró entonces que el instrumento de medida multidimensional que utilizó era válido y fiable por encontrarse dentro de dicho rango. Esto robustece la conclusión obtenida con respecto a la fiabilidad y validez del cuestionario CEMRPM.

Gracias a la validez del cuestionario, la información recolectada indica en buena medida la importancia de abstraer la percepción que tienen las estudiantes con respecto a la RP. Se evidencia que son estadísticamente significativas las correlaciones encontradas entre las dimensiones y no se presentaron diferencias significativas entre las medias de los resultados entre Regulación, Planificación y Evaluación.