Geogebra en experimentación matemática: una encuesta bibliográfica en revistas indexadas en la plataforma CAPES

Introdução

A matemática é uma área importante de estudo para o desenvolvimento humano. Por meio dela foram alcançados inúmeros avanços tanto na área de produção industrial quanto na agricultura e, atualmente, nas atividades que demandam recursos tecnológicos. No cotidiano das sociedades, a matemática caracteriza-se por diversos quesitos, dentre estes, a organização da informação, a indicação dos melhores trajetos em malhas rodoviárias e aéreas, e na administração financeira. Pode-se ainda destacar "[...] dois aspectos: é a rigorosa ciência de Euclides, mas é também uma outra coisa. A matemática, apresentada da maneira euclidiana, revela-se uma ciência dedutiva, sistemática, mas a matemática em desenvolvimento apresenta-se como uma ciência indutiva, experimental." (Polya, 1995, p. VI).

Sendo a matemática tão relevante para o pensamento humano, torna-se imprescindível o seu aprendizado e um pleno domínio de seus preceitos quando investigamos o seu papel no ensino e aprendizagem por meio da tecnologia. A Base Nacional Comum Curricular do Ensino Médio (BNCC), publicada pelo Ministério da Educação (MEC, 2017), aponta para uma escola que promova uma educação integral, não só no âmbito cronológico, mas também com vistas ao desenvolvimento intelectual pleno do sujeito, de modo a desvencilhar o aprendizado das apresentações e acúmulo repetitivo de informação.

O simples apresentar de uma teoria ou mesmo o validar de uma constatação científica devem ser acompanhados de sua história e de como este conhecimento foi produzido. É necessária, então, uma reflexão a respeito da postura do professor e do aluno frente ao conhecimento e as atividades experimentais são possibilidades dinâmicas de despertar e promover um agir reflexivo destes atores da educação, frente aos desafios do ensinar e aprender.

Por meio de recursos tecnológicos, é possível realizar ações de ensino e aprendizagem interativas com qualidade nas escolas. Os softwares gráficos, por sua vez, possibilitam uma interação que não pode ser alcançada no papel, em destaque as leituras imediatas de regiões por meio da interação com o mouse, "[...] geração de animações (família de funções) em vídeo com variação de parâmetros previamente definidos, decomposição do gráfico em planos distintos (transformações lineares), entre outras funcionalidades." (Silva, Souza e Marques, 2009, p. 9).

Dessa forma, um estudo com softwares de geometria dinâmica possibilita entender quais as potencialidades da experimentação na educação matemática, tendo em vista que este tipo de ferramenta digital oportuniza visualizar simultaneamente o âmbito geométrico e algébrico de uma atividade. Dentre este tipo de ferramentas, ressaltamos o GeoGebra, software livre e multiplataforma de geometria dinâmica, que vem sendo alvo de inúmeras pesquisas pelo mundo.

A partir disso, temos como objetivo analisar o uso do software GeoGebra no ensino de matemática em atividades experimentais na educação básica, levando em conta os seguintes questionamentos: como ocorrem as experimentações matemáticas com o uso de softwares de geometria dinâmica na educação básica? Como o software GeoGebra tem sido explorado nas experimentações, envolvendo o aprendizado de matemática?.

Apresentaremos uma pesquisa bibliográfica, na base de dados periódicos da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES), visando analisar as abordagens e usos do software GeoGebra nas atividades de experimentação. Esta pesquisa, com características de estado da arte, possibilita que se tenha um reconhecimento da área e do modo como as pesquisas com este enfoque têm sido desenvolvidas até o presente momento.

Experimentação

As atividades que envolvem experimentos quantitativos ou qualitativos conduzem à investigação e observação de fenômenos que procuram seu entendimento e a relação dos conceitos envolvidos. Por meio da proposição de Sequências de Ensino Investigativo (SEI), Carvalho (2013) salienta que as práticas experimentais como forma de investigação conduzem o aluno para o centro da atividade, valorizando seus saberes prévios, levantando suas hipóteses e pondo-as em teste.

Este tipo de atividade favorece momentos de reflexão e discussão que melhoram a argumentação do estudante. Baseada nos preceitos de Piaget e Vygotsky, a autora pondera o planejamento das atividades experimentais e aponta que o papel do professor na atividade experimental passa de central para condutor/ mediador da aprendizagem.

Para Borba et al. (2014), a experimentação é parte indissociável do processo de construção e aprendizado de conceitos matemáticos. Destaca-se que é preciso planejar o que chamam de design experimental para as atividades de ensino da matemática, como a formação de cenários de investigação e descobertas, possibilitando ao aluno a formulação e reformulação de conjecturas acerca de uma questão ou um problema, num impasse pela busca de soluções.

Um problema bem elaborado em que o aluno demonstre interesse em investigar somente é gerado quando existe a contextualização, ou seja, quando o problema alcança real significado na vida do estudante. Dessa forma

ao trazer esse conhecimento para o ensino em sala de aula, esse fato -propor um problema para que os alunos possam resolvê-lo- vai ser divisor de águas entre o ensino expositivo feito pelo professor e o ensino em que proporciona condições para que o aluno possa raciocinar e construir seu conhecimento. No ensino expositivo toda a linha de raciocínio está com o professor, o aluno só a segue e procura entendê-la, mas não é o agente do pensamento (Carvalho, 2013, p. 2).

Para Limberger et al. (2016), a experimentação é uma ferramenta importante que beneficia o processo de ensino e aprendizagem em ciências e matemática. Entretanto, a forma como é conduzida deve trazer condições diferenciadas em busca de uma perspectiva construtivista que incentive a pesquisa, e não apenas de modo demonstrativo. Para os autores "cabe aos professores e educadores, utilizarem-se devidamente desta valiosa ferramenta, buscando novos caminhos a partir dessa possiblidade que emerge, em benefício de uma aprendizagem mais significativa" (p. 62).

A partir da investigação com pesquisadores da área de ensino de ciências e matemática, Limberger et al. (2016), elencaram cinco categorias que podemos classificar como o papel da experimentação: 1) associação entre teoria e prática; 2) veículo de inserção do cotidiano do aluno no ambiente escolar; 3) desafio e motivação da participação dos alunos; 4) desenvolvimento de habilidades e competências nos alunos; 5) favorecimento da reconstrução do conhecimento.

Em seu trabalho, Ayala et al. (2011), apresentam uma discussão no âmbito das experiências científicas, mais especificamente, de experiências em ambiente escolar, levantando questionamento sobre o que tem sido priorizado no ensino, a chamada teorização. É visível que na escola busca-se apresentar os conceitos científicos como prontos, e o processo de construção do saber do aluno acaba ficando restrito ao decorar e validar as formulações matemáticas que regem os conceitos físicos, através de listas intermináveis de exercícios.

Embora, como exposto no texto, a teoria condicione a possibilidade de experiência, acredita-se que o aprendizado torna-se mais eficaz quando, ao partir da experiência, o aluno é levado a considerar os dados obtidos e a conjecturar sua própria tese, diante dos fatos constatados pela atividade experiencial. Só então é que se deveria contrapor o conhecimento levantado pelo aluno com a teoria já fundamentada.

Entende-se que embora os autores Ayala, Malagón e Sandoval (2011) defendam um formalismo conceitual, existem outros aspectos inseridos numa atividade experimental que não foram mencionados durante a discussão inicial. É preciso levar em consideração aspectos como a socialização, o cooperativismo, a inovação, a confiança, etc., que são decorrentes de atividades com experimentação e que promovem a aquisição de conhecimento e autonomia pelos alunos. Mesmo na ausência de um rigor conceitual implicando em formalismos matemáticos, a discussão dos resultados já é fato bastante relevante no que diz respeito à promoção do conhecimento.

Boss et al. (2012) apresentaram em seu trabalho resultados de uma pesquisa qualitativa de cunho pedagógico, fundamentada na psicologia sócio-histórica, na abordagem de conteúdos de física do Ensino Fundamental. Durante a experimentação, revela-se o aparecimento da zona de desenvolvimento real e da zona de desenvolvimento imediata, dois conceitos desenvolvidos por Vygotsky (1991). Na zona de conhecimento real, a criança é capaz de resolver um problema de forma independente, sem a ajuda de terceiros. Já na zona de desenvolvimento imediata é preciso que haja auxílio de um colega ou mesmo do professor (um parceiro mais capaz) para a solução do problema.

Estes estudos mostram que houve envolvimento dos alunos nas atividades propostas e as interações provocaram inquietações que impulsionaram os alunos a construírem alguns conceitos na área da física ao colocar em evidência a importância do papel do professor neste momento de apropriação do conhecimento. Uma vez que se identifica a zona de desenvolvimento imediata, é necessária a ação de um profissional que tenha capacidade em conduzir o experimento de forma a proporcionar ao aluno uma interação e conceituação daquilo que está sendo desenvolvido, sem o qual podem ocorrer equívocos ou o aparecimento de falsos conceitos.

Software de Geometria Dinâmica: GeoGebra

O software de geometria dinâmica GeoGebra é uma ferramenta computacional com enorme potencial na abordagem de conteúdos na área da matemática. Este software apresenta elementos que dão suporte às atividades geométricas e algébricas, interligan'do e relacionando as duas áreas de estudo. Para Borba et al. (2014), trata-se de um software que possui uma interface intuitiva e permite uma interação que se assemelha muito ao trabalhar com lápis e papel. O software viabiliza o aprendizado da matemática, além da possibilidade de experimentação e visualização de elementos dinâmicos. O ambiente de trabalho do software, apresentado na Figura 1, é composto por duas regiões distintas que interagem entre si, à direita temos a área gráfica e à esquerda, a área algébrica.

Figura 1: Ambiente de trabalho do Software GeoGebra.

Nota: adaptado de GeoGebra (https://www.geogebra.org/graphing?lang=pt)

Desenvolvido por Markus Horenwarter da Universidade de Salzburg em 2001, o software GeoGebra possibilita a construção de diversos elementos geométricos como, por exemplo, pontos, vetores, segmentos, retas, secções cônicas, etc. Estes elementos permitem a modificação de elementos construídos de maneira dinâmica com grande interatividade (Instituto São Paulo GeoGebra, s.d).

Os autores Boruch e Basniak evidenciam o GeoGebra: "pelas suas principais características relacionadas a dinamicidade e facilidade para realizar construções por meio de ferramentas ou comandos inseridos em sua caixa de entrada." (2018, p. 3).

Por tratar-se de um software de acesso livre, é ideal para o uso em laboratórios de informática em escolas públicas. Com diversas versões, o GeoGebra pode ser instalado de forma gratuita e, também, pode ser utilizado sem instalação prévia no computador, através de sua versão online, diretamente no navegador (browser). Além do GeoGebra 2D, que é a versão mais difundida, o software apresenta ainda uma versão de manipulação de objetos em 3D; também, uma versão para dispositivos móveis como tablets, notebooks e smartphones. É um software que tem sido atualizado e ampliado constantemente, visto que possui uma grande comunidade de desenvolvedores. Além disso, tem sido utilizado em diversos níveis educacionais e na exploração de muitos conceitos em inúmeros trabalhos científicos. Para Rezende et al.:

Experimentar, criar estratégias, fazer conjecturas, argumentar e deduzir propriedades matemáticas são, em verdade, ações desejáveis no ensino de Matemática em qualquer domínio de conhecimento e nível de ensino. Nesse sentido, essas ferramentas computacionais são bem-vindas no ensino das funções reais. Em particular, o software GeoGebra, com excelente interface dinâmica entre os sistemas algébrico e geométrico de representações, se apresenta como uma poderosa ferramenta para o estudo do comportamento variacional das funções reais (2012, p. 78).

O emprego do software de geometria dinâmica tem demonstrado uma ação eficiente nas aulas de matemática. De acordo com Medeiros, et al (2017), ao desenvolverem uma pesquisa com o uso do GeoGebra, puderam afirmam que o uso do software contribuiu: "[...] para que fosse despertada a atenção nas atividades propostas, fez com que os conceitos que os estudantes participantes do projeto já haviam estudado em sala de aula ampliassem novos significados quando explorados no ambiente virtual de geometria dinâmica.".

Isotani, Sahara e Brandão (2001) apresentam um site nomeado iMática [www.matematica.br], que contém propostas para o aprendizado da matemática. Com destaque para o software de geometria dinâmica iGeom¹, os autores afirmam que a partir da experimentação e do retorno gráfico que o software proporciona, observa-se uma nova maneira de aprender matemática. Ainda segundo os autores:

Através de recursos computacionais podemos oferecer, de maneira rápida, o conteúdo necessário para aprendizagem e estendermos as abordagens passivas utilizadas para o ensino atual, provendo exemplos interativos com animações gráficas que ilustrem o funcionamento de funções, cálculos e construções geométricas, dentre outras áreas. Com a experimentação e o retorno gráfico destas ferramentas, poderemos obter resultados sensivelmente positivos ao ensino de Matemática. (Isotani et al. 2001, p. 2).

Para Ponte et al. (2003), o desenvolvimento do raciocínio matemático é viabilizado quando são apresentadas situações de aprendizagem apropriadas. Segundo os autores, "a tecnologia pode ter um papel importante neste contexto sendo referida, por exemplo, para o 3° ciclo, a utilização de software de Geometria Dinâmica quando os alunos realizam tarefas exploratórias ou investigativas." (p. 112). Considera-se que estes tipos de ferramentas tecnológicas estimulam situações-problema desafiadoras, conduzindo o aluno à uma postura exploratória e investigativa, onde

O aluno é chamado a agir como um matemático, não só na formulação de questões e conjecturas e na realização de provas e refutações, mas também na apresentação de resultados e na discussão e argumentação com os seus colegas e o professor. (p. 23)

O software GeoGebra propicia ao professor pensar ações de intervenção dos conteúdos nos mais variados contextos e diversificados públicos. Ao desenvolver animações no software GeoGebra com alunos com superdotação, Boruch e Basniak (2018, p. 3) consideram que o software estimula a investigação, a descoberta e o aprendizado da matemática, indicando que: "é possível inferir que sua utilização auxilia o desenvolvimento destes alunos". Segundo os autores, o GeoGebra possui potencial para trabalhar com este público, pois os alunos com superdotação precisam ser desafiados em atividades que estimulem o raciocínio. E ainda:

GeoGebra se apresentou como uma possibilidade propícia para a abordagem do plano cartesiano no ensino da Matemática a alunos com altas habilidades/superdotação. Visto que com o desenvolvimento de animações, é possível o professor favorecer o aluno a explorar diferentes representações de um mesmo objeto, incentivar seus alunos a testarem hipóteses matemáticas de maneira lúdica e contextualizar a Matemática de forma diferente da tradicional. (p. 7).

De acordo com Borba, Gadanidis e Silva (2014), o uso de tecnologias digitais, como o GeoGebra, nas aulas de Matemática, é uma ação necessária na promoção de um aprendizado com descoberta. De acordo com Medeiros, et al. (2017), os softwares educacionais possibilitam ao docente elaborar atividades, na abordagem de conceitos matemáticos, de maneira diversificada e desafiadora.

Procedimentos metodológicos e resultados

A base de dados utilizada no presente trabalho, Periódicos CAPES, é uma plataforma que reúne numerosos trabalhos científicos disponibilizados de forma gratuita, através de parceria com diversas instituições de ensino superior e institutos de pesquisa nacionais e internacionais. Disponibiliza um acervo com mais 45 mil títulos na íntegra; são cerca de 130 bases referenciais e 12 bases dedicadas a patentes. A plataforma é composta ainda por livros, enciclopédias e obras de referência, como também normas técnicas, estatísticas e conteúdo audiovisual.

A presente pesquisa classifica-se como qualitativa, uma vez que a análise dos textos foi conduzida pelos autores de forma interpretativa. Com o intuito de atingir o objetivo proposto, realizou-se um levantamento dos textos disponíveis na plataforma Periódicos CAPES. A busca ocorreu no período de abril de 2019 a julho de 2019 e deu-se por meio das seguintes palavras-chave: matemática; experimentação; software; GeoGebra, não utilizando filtros como período ou idioma.

A utilização das palavras-chave matemática e experimentação, retornou cerca de 492 publicações. Ao combinar a palavra software o número que trabalhos encontrados foi reduzido para pouco mais de uma centena. Deste ponto partiu-se para uma leitura dos resumos, selecionando os trabalhos que fizessem menção a softwares de geometria dinâmica ou ao GeoGebra, resultando em 24 trabalhos que em seguida foram lidos na íntegra.

Embora entendamos que possa haver trabalhos similares utilizando o GeoGebra na abordagem de conteúdos de matemática, o que priorizamos foram os trabalhos que tratavam da experimentação matemática, disponíveis na plataforma de dados escolhida, dentro do período de busca. Sabe-se que outras terminologias também podem ser empregadas, tais como, simulação, verificação, demonstração matemática; entretanto foram pesquisados apenas trabalhos que consideram a experimentação matemática. Importante ressaltar também que embora se trate de um levantamento bibliográfico, com características de estudo do estado da arte, não descartamos a possibilidade de que algum trabalho não tenha sido considerado na presente pesquisa bibliográfica.

A distribuição dos 24 trabalhos, de acordo com os níveis de ensino, está representada na Tabela 1, onde podemos verificar que o nível infantil, nível fundamental l e técnico são áreas que não apresentam trabalhos cujo enfoque explore o uso do GeoGebra em atividades de experimentação.

Dos 24 trabalhos encontrados, foram selecionados apenas os trabalhos na modalidade artigo científico, indexados na plataforma da CAPES, dessa forma um dos trabalhos não atendeu a este requisito.

Outro requisito de escolha levou em consideração o foco dos trabalhos, que deveriam ser específicos para a educação básica, neste quesito 11 trabalhos não possuíam foco neste nível. Constatamos que todos os 11 trabalhos possuíam uma abordagem específica em nível superior, 7 em cursos de formação inicial e 3 trabalhos tinham enfoque na formação continuada de professores de matemática. Além de um trabalho que embora não especifique o curso de graduação, apresenta um produto educacional para as disciplinas de cálculo diferencial e integral , com atividades desenvolvidas com o uso do software GeoGebra. Dentre os 11 trabalhos, verificou-se ainda que 6 deles versavam sobre assuntos pertinentes à disciplina de cálculo diferencial e integral em cursos de graduação. Os assuntos abordados contemplavam os seguintes conceitos: sólidos de revolução, o teorema de L'Hopital, limite, continuidade, derivadas e áreas de regiões planas. Os outros 5 trabalhos embora abordem assuntos mais elementares como equações quadráticas, geometria plana, geometria euclidiana, estudo de cónicas e funções, não foram selecionados, como já dito, por tratarem de uma abordagem em nível superior.

Outros 4 trabalhos não foram selecionados por não apresentar atividade experimental, sendo dois levantamentos de estado da arte e duas revisões bibliográficas que, embora mencionem o uso do GeoGebra em atividades de abordagem de conteúdos de Matemática na educação básica, não apresentam relatos ou atividades experimentais com o uso desse software. Na Tabela 2 estão listados os 8 trabalhos que foram selecionados nesta pesquisa:

Nesta tabela, destacamos a coluna Ref., que cria uma referência para cada trabalho de modo que ao referenciar os dados destas pesquisas, doravante se fará por meio deste indexador.

Ressaltamos que nem todas as atividades relatadas nos trabalhos escolhidos apresentam-se como atividades experimentais de Matemática, também não se póde realizar tal classificação, pois nem todas as pesquisas apresentam um detalhamento do desenvolvimento das atividades. Todavia os trabalhos selecionados enaltecem ou relatam atividades de experimentação em Matemática por meio do software GeoGebra. A maior parte dos artigos foi publicada em revistas nacionais. Na Figura 2 indicamos a distribuição dos trabalhos encontrados de acordo com a nacionalidade das revistas selecionadas.

Figura 2: Distribuição de trabalhos por revista

Uma leitura reflexiva priorizou desvelar os impactos da utilização do software GeoGebra nas atividades de experimentação em matemática relatadas nos trabalhos, apontar os resultados positivos e negativos desta ação e propiciar um melhor entendimento do desenvolvimento das atividades educacionais descritas.

Considerações Finais

Embora o software GeoGebra contemple aspectos geométricos e algébricos, a maior parte dos trabalhos analisados apresentou um enfoque na geometria. Conjecturamos que isto se deve ao fato de que as relações geométricas presentes nos conteúdos de matemática nem sempre são bem exploradas apenas com a elucidação apresentadas nos livros ou com quadro negro e giz. Neste ponto, os recursos computacionais são ferramentas indispensáveis para a condução das aulas e o despertar do saber, principalmente em ambientes onde os recursos de infraestrutura, como os laboratórios de matemática, são escassos.

Ao analisar os trabalhos, emergiram com frequência alguns pontos positivos em que podemos destacar: a boa reflexão provocada pelas atividades, a formulação de hipóteses e conjecturas, além de despertar a argumentação nos estudantes. Estes apontamentos são importantes, pois demonstram que estas atividades experimentais com uso do software GeoGebra fundamentam e impulsionam o aprendizado da Matemática de maneira dinâmica, atendendo às demandas contemporâneas da sociedade moderna.

Constatou-se que não foram encontrados trabalhos desenvolvidos no âmbito do Ensino Fundamental com a temática proposta. Apontamos que esta é uma lacuna a ser preenchida, pois as atividades com o uso de tecnologia neste nível de ensino não precisam se limitar apenas ao uso de jogos digitais. É possível a abordagem de diversos conceitos no Ensino Fundamental , através da atividade experimental que tem como uma das suas características principais os desafios, a promoção da capacidade de pensar e formular perguntas auxiliando na obtenção de respostas dos alunos, não sendo assim apenas mais um estímulo motivacional, mas sim que promove a autonomia do indivíduo.

Entende-se que a forma como o levantamento se deu não considerou trabalhos que versassem sobre simulação, validação, verificação matemática ou demonstração matemática, embora trabalhos que utilizem estas classificações tenham abordagens muito próximas dos trabalhos selecionados para esta pesquisa. Pretendeu-se aqui reunir os artigos que utilizaram a nomenclatura de experimentação ou conduziram suas pesquisas de forma a enaltecer a atividade de experimentação em matemática.

Por fim, estima-se que este trabalho possa provocar reflexões e estimular novas propostas que investiguem o uso de softwares de geometria dinâmica e a atividade de experimentação em matemática. Propõe-se também o desenvolvimento de outros trabalhos que visem a exploração de atividades experimentais de forma interdisciplinar, com um olhar interdis-ciplinar sobre assuntos da matemática e de outras ciências como a física, a química, a biologia e a computação.