El carácter algebraico en el conocimiento matemático de maestros en formación

Los participantes

La investigación se realizó con 40 maestros en formación en el contexto de un curso que pertenece a un programa de licenciatura para formar a maestros de educación primaria en México. Los futuros docentes cursaban el último año de la Licenciatura en Educación Primaria. La muestra se escogió de un muestreo no probabilístico (León y Montero, 2003), por tanto, la elección fue de tipo incidental, no aleatoria, ya que los futuros maestros participaron en tanto que estaban inscritos en el curso de formación referido.

Descripción y análisis previo de las tareas

Las seis tareas incluidas en el cuestionario son de respuesta abierta. Estas tareas fueron seleccionadas de las diferentes investigaciones referidas al álgebra en la escuela primaria, así como de los libros de texto. Para la selección y modificación de las tareas se tomaron en cuenta dos criterios: por un lado, el nivel de algebrización según su carácter potencial para promover el pensamiento algebraico (Aké y Godino, 2018), y por otro, el tipo de conocimiento que puede manifestarse a través de la resolución (Aké et ál., 2014; Godino et ál., 2017). En las primeras cuatro tareas, la información sobre el conocimiento común busca caracterizar el nivel de algebrización de la actividad matemática expuesta. Las tareas 5 y 6 fueron incluidas en el cuestionario por sus contenidos situados, a nivel curricular, en la educación secundaria. Su resolución permitió caracterizar el conocimiento ampliado de los maestros en formación y el nivel de algebrización que podían alcanzar los futuros docentes al abordarlas. A continuación, se realiza la descripción y análisis previo de cada una de las tareas incluidas en el cuestionario; lo que facilitó la comparación de las soluciones esperadas con los hallazgos encontrados en las resoluciones de los futuros docentes.

La tarea 1 plantea la determinación de dígitos desconocidos representados por letras en una suma (figura 1).

Figura 1: Sumar con letras.

Fuente: modificado de Ferrero et ál. (2007, p. 141).

La resolución de esta tarea implica hallar el valor de C, para ello se considera la condición que se establece en la primera columna, la de las unidades: 3C=C, o 3C=10+C; de la lectura de la segunda columna (la de las decenas) se obtiene que C=5. Para hallar el valor de B, se consideran los casos posibles 3B+1=20+C o 3B+1=30+C. Se determina que 3B+1= 25 cumple con las condiciones establecidas en la columna de las decenas, así B=0. Para hallar el valor de A se puede establecer: 3A+2=20+A, de donde A es 9. También es apreciable que la tarea potencia el planteamiento de una ecuación que describe la condición general de la suma 3 (100A +10B+C)=2000+100A+10C+C, donde se utiliza un lenguaje simbólico-literal y el signo igual (=) en su acepción de equivalencia. Se pone de manifiesto la estructura y relaciones subyacentes de la suma por lo que el nivel de algebrización que implica es 2.

La tarea 2 corresponde al tipo de los problemas aritméticos verbales compuestos de estructura multiplicativa; no se requiere hacer cálculos con números particulares dado que no se proporcionan datos numéricos en el enunciado. Las alturas actúan como dos variables entre las cuales existe una relación cuantitativa (figura 2).

Figura 2: Comparar alturas.

Fuente: modificado de Carraher et ál. (2000, p. 8).

A través de la solución es posible potenciar el concepto de variable y el planteamiento de dos relaciones funcionales donde las alturas son variables que podrían ser analizadas a través del uso de tablas. El nivel de algebrización que potencia la tarea es de un nivel 2, se expresa la relación entre las alturas, en la que la altura de María puede tomar un conjunto de valores y dependiendo del valor proporcionado se obtendrán los valores de las alturas de Tomás y Lucía. El establecimiento de las relaciones potencia un lenguaje simbólico-literal y el signo igual (=) indica una relación funcional.

La tarea 3 se sitúa en una perspectiva funcional para el desarrollo del pensamiento algebraico, en contraste con el enfoque más tradicional que se centra en el álgebra como la manipulación simbólica (figura 3).

Figura 3: Generalizar con cubos adosados.

Fuente: modificado de Moss y Beatty (2006, p. 461).

El maestro en formación tiene que identificar patrones, encontrar la regularidad subyacente y expresarla como una función explícita a través de un proceso de generalización. El nivel de algebrización que se puede alcanzar al resolver la tarea sería 1, si la regla se expresa en un lenguaje verbal, y de un nivel 2, si establece la relación f(n)=4n+2, esta última es la respuesta esperada. La actividad demanda observar el comportamiento de unos casos particulares (los suficientes) para luego expresar en términos generales una regla que describa tal comportamiento. Se potencia el uso del signo igual (=) para designar una relación funcional; además, se transita de un lenguaje numérico-aritmético para luego expresar la regla en un lenguaje simbólico-literal.

La tarea 4 planteada en el cuestionario se sitúa en los problemas aritméticos verbales simples de estructura multiplicativa sin la presencia de datos numéricos. Pone de manifiesto el uso de las letras como variables en un determinado contexto. Se tiene que identificar la relación existente entre el número de estudiantes y el número de profesores como una relación de dependencia (figura 4).

Figura 4: Comparar cantidades.

Fuente: modificado de Rosnik (1981, p. 418).

La solución a esta tarea implica un análisis similar al de la tarea 2; se define a las letras como variables: S= número de estudiantes y sea P= número de profesores; la expresión que resulta es S = 6P, o bien establecerlo de la siguiente manera: $P=\frac{1}{6}S$ . Se plantea relación de dependencia en un lenguaje simbólico-literal en donde el signo igual (=) indica una relación funcional. Esta solución de la tarea implica un nivel 2 de algebrización.

Las tareas 5 y 6 fueron elegidas para el cuestionario porque incluyen temas más avanzados respecto al currículum de primaria. La tarea 5 se eligió para indagar el conocimiento ampliado de los maestros en formación sobre modelización algebraica (figura 5). La solución de esta tarea conlleva al planteamiento y designación de literales para expresar las dimensiones de la hoja, por ejemplo: $L y \frac{L}{2}$ para el largo y ancho de la hoja respectivamente. Así, el área de la superficie de impresión está dada por la expresión: $(L-4=\left(\frac{L}{2}-5\right)=300 {cm}^3$ ; se trata de una ecuación de segundo grado L ²-14L-560 cm²=0 La letra L funge como incógnita.

Figura 5: Modelizar dimensiones.

Fuente: modificado de Cerdán (2007, p. 309).

Se ponen en juego conceptos como ecuación cuadrática para modelizar las condiciones de la tarea, ecuaciones equivalentes al aplicar procedimientos de transformación a través de operaciones elementales. Lo previo implica una reducción de términos semejantes en donde se utilizan símbolos literales para operar con ellos de manera analítica sin referir a la información del contexto. De esta manera, la solución puede implicar un nivel 3 de algebrización.

En el caso de la tarea 6 (figura 6), aunque es posible resolverla mediante relaciones numéricas, lo que se espera es que el futuro docente plantee las literales para que emerja así el concepto de incógnita.

Figura 6: Calcular el número de vagones

Fuente: modificado de Bernardz et ál. (2001, p. 67).

El concepto de ecuación surge con el planteamiento de 12x+16/=588 que indica la relación entre la cantidad de asientos de los vagones con el número total de pasajeros. De esta manera la solución a este problema implica operar de manera simbólica con las cantidades indeterminadas. Así, se está frente a un nivel 3 de algebrización.

En la tabla 1 se recogen las características de las tareas previamente descritas.

El carácter algebraico en el conocimiento común

Para el análisis de los resultados se ha usado un sistema de codificación definido por las variables grado de corrección (GC) y elementos matemáticos predominantes (EMP). Estos elementos matemáticos predominantes permitieron identificar a los maestros en formación que utilizan álgebra en sus soluciones, cuyo carácter algebraico está definido por el nivel de algebrización que alcanza.

Para el caso de la tarea 1, en la tabla 2 se indica que 30 maestros en formación resolvieron la tarea de forma satisfactoria; un profesor proporcionó una respuesta parcialmente correcta al determinar algunos de los valores de las literales, pero no concluye la tarea; cuatro proporcionan dígitos incorrectos para las literales. El grado de corrección de la tarea junto con las formas de solución se muestran en la tabla 2.

También se indica que dos de los maestros en formación utilizan álgebra en la tarea, de los cuales ninguno alcanzó un nivel de algebrización por presentar inconsistencias en la solución. Como ejemplo, en la figura 7 se muestra la resolución del maestro en formación E02, en su trabajo matemático se identifica el uso de propiedades de los números reales. Como procedimientos el futuro maestro plantea una relación entre las incógnitas, que deja a la letra B como parámetro. El establecimiento de esta relación se justifica en términos de lo que observa en la suma B+B+B=C, (C=3B) y atiende al conteo de las letras A, B y C. Se considera al signo igual en su acepción de resultado e interpreta la expresión algebraica 2ACC como una concatenación de caracteres, luego considera que concatenar es equivalente a sumar (plantea 2ACC=2A+ C+ C).

Figura 7: Resolución de la tarea 1 por el maestro en formación E02.

Fuente: datos de la investigación.

La actividad expuesta por el futuro maestro pone de manifiesto objetos algebraicos; sin embargo, aunque sigue un procedimiento basado en las relaciones entre A, B y C que observa en la suma, no los percibe como dígitos de un número. Intenta operar con las letras y realizar transformaciones en ambos lados del signo igual (=), pero pasa por alto la estructura matemática que soporta al sistema posicional, lo que le lleva a que la ecuación que plantea no cumpla con las condiciones de la tarea. Lo previo también ocasiona que las simplificaciones que realiza no se correspondan a las condiciones que establece la suma. Aunque la tarea, según su análisis previo favorece un nivel 2 de algebrización para el conocimiento común, el nivel de algebrización de la actividad matemática que evidencia el futuro maestro es cero, no hay carácter algebraico, dado que la manipulación simbólica realizada carece de sentido.

En el caso de la tarea 2, el grado de corrección indica que 24 de los estudiantes para maestro establecieron la relación entre las alturas. Sin embargo, solo 2 resolvieron la tarea de manera satisfactoria estableciendo la relación adecuada considerando alguna unidad de medida. 10 futuros maestros no consideraron una unidad de medida y establecieron de manera errónea la relación entre las alturas (tabla 3).

Cabe destacar que entre las formas que los futuros maestros usaron para dar solución a las tareas, 26 utilizaron una gráfica para señalar la relación entre las alturas, es decir, recurrieron a barras o rectas para determinar la relación con letras; 5 establecieron la relación entre las alturas mediante dibujos. Aunque 31 utilizaban las letras para determinar las relaciones entre las alturas, dichas relaciones no se correspondían con el planteamiento de la tarea; así, generaron expresiones erróneas como M=4T (maestro en formación E11). De estas manifestaciones de índole algebraica, solo 2 soluciones alcanzaron un nivel 2 de algebrización, nivel que la tarea promovía. Como ejemplo, en la figura 8 se muestra la resolución del maestro en formación E30.

Figura 8: Resolución completa de la tarea 2 por el maestro en formación E30.

Fuente: datos de la investigación.

El estudiante para maestro trabaja una representación gráfica de barras para establecer las diferencias entre las alturas; considera a la altura de María como un valor determinado pero genérico y la utiliza como unidad de medida. Intervienen tres datos: las alturas de María, Tomás y Lucía. Tomás y María actúan como dos variables entre las cuales existe una relación cualitativa "cuatro veces más alto que"; a su vez María y Lucía también actúan como variables entre las cuales existe una relación cualitativa "seis veces más baja que". Utiliza las letras M, L, T como indicadores o etiquetas para identificar las alturas correspondientes a María, Lucía y Tomás. En las expresiones T=4M; L = 6M, el signo igual expresa una relación de dependencia entre las variables T y L con respecto a M.

En la tarea 3, 18 maestros la resolvieron de manera correcta al establecer la regla que describe la relación entre el número de cubos y las pegatinas de forma general, incluso si es expresado verbalmente. 11 respuestas son parcialmente correctas al no expresar la regla general que relaciona el número de caras con el de pegatinas, se quedaron en el plano de los casos particulares. 10 maestros en formación plantearon incorrectamente la relación entre los cubos y las pegatinas (tabla 4).

En la tabla 4 también se recogen los elementos matemáticos predominantes utilizados por el maestro en formación para dar su respuesta. Se indica que 37 participantes usan un método icónico al pintar dibujos de cubos para identificar la variación numérica de las pegatinas respecto a los cubos, una minoría utilizó la regla de tres para encontrar la relación entre los cubos y las pegatinas, esto proporcionó respuestas incorrectas. Pese a que la tarea planteada permite acceder a un nivel 2 de algebrización, no se manifestó el uso del simbolismo para articular una regla general (f(n)=4n + 2), pero sí se alcanzó un primer nivel al articular una expresión general de manera verbal. En la figura 9 se muestra la solución del maestro en formación E21, uno de los 18 participantes que articularon una regla de manera verbal de forma correcta, lo que implica un nivel 1 de algebrización.

Figura 9: Resolución de la tarea 3 por el maestro en formación E21.

Fuente: datos de la investigación.

El futuro maestro específica: “De acuerdo con el número de cubos, se multiplica por 4 y suma 2. Se va sumando cuatro pegatinas más conforme se agrega un cubo” (maestro en formación E21).

En la solución del maestro en formación se plantea el signo igual (=) como un indicador de correspondencia entre el número de cubos y el de pegatinas al escribir "1=6". Con ello establece que a un cubo le corresponden seis pegatinas, que a dos cubos le corresponden diez y así sucesivamente. Utiliza una notación inadecuada para la enseñanza, pero bajo la perspectiva del futuro maestro adquiere lógica. Se apoya en un lenguaje icónico para contar las pegatinas requeridas por cubo una vez que se encuentran unidos, por lo que la simbolización y la realización de transformaciones están ausentes.

En la tarea 4 se consideró como correcto si el maestro en formación establece la expresión que relaciona el número de profesores con el número de estudiantes. Pese a que los 40 participantes utilizaron letras, 25 tradujeron incorrectamente las condiciones de la tarea al expresar, por ejemplo: "6S = P de donde S = P/6" (maestro en formación E31). Este hecho conlleva a manifestar que las tareas de comparación multiplicativa (tarea 2 y 4) implican dificultades para los futuros maestros de primaria (tabla 5).

En la figura 10 se muestra la resolución del futuro maestro E29, uno de los 15 participantes que movilizaron un nivel 2 de algebrización, el cual demandaba la tarea en el marco del conocimiento común.

Figura 10: Resolución de la tarea 4 por el maestro en formación E29.

Fuente: datos de la investigación.

Los resultados referentes al grado de corrección evidencian que, aunque los futuros maestros resuelven las tareas planteadas (lo que indica un conocimiento común), los elementos matemáticos utilizados no son apropiados para el desarrollo del pensamiento algebraico, tal es el caso del ensayo y error que se puede constatar en el caso de la tarea 1. "La idea no es simplemente atribuir significado algebraico a las actividades matemáticas de la escuela primaria, sino que los contenidos matemáticos deben ser transformados sutilmente para resaltar su carácter algebraico" (Carraher et ál., 2006, p. 88). Es necesario que los maestros sean capaces de poner de manifiesto el carácter algebraico de la tarea matemática elemental y consideren al álgebra una forma de pensamiento y no como una lista de procedimientos a seguir (Carraher y Schliemann, 2007; Stephens, 2008).

El carácter algebraico en el conocimiento ampliado

El conocimiento ampliado se indagó a través de las tareas 5 y 6. Es importante señalar que no se precisa de tareas con temas explícitamente avanzados para analizar el conocimiento ampliado de los maestros en formación, este se puede poner de manifiesto al reconocer en las tareas las condiciones necesarias para realizar un planteamiento algebraico.

En los resultados de la tabla 6 se reconoce que la tarea 5 representó una actividad de mayor complejidad para los estudiantes para maestro; se obtuvieron dos respuestas parcialmente correctas al proporcionar un resultado aproximado evidenciando un proceso poco claro. En 15 de las soluciones se manifestó una serie de operaciones que no condujeron a un resultado concreto. La mayoría de los maestros en formación no respondió a la tarea. Hubo un predominio de elementos matemáticos de carácter aritmético. Es importante señalar que los estudiantes para maestros, en su totalidad, hicieron un dibujo para representar la situación del problema, aunque no alcanzaran a realizar algún cálculo.

El maestro en formación E21, realizó una actividad de índole algebraica. En la figura 11 se puede observar que logra establecer la relación de dependencia entre el largo y el ancho de la hoja. En su primer intento por plantear una ecuación, no tiene claro las variables designadas $\frac{1}{2}(L-4)$ y se equivoca en el uso del paréntesis y en la designación de las variables. No reconoce la dependencia entre las variables al trabajar con dos literales diferentes, donde una puede ser expresada en términos de la otra. Aplica la misma operación en ambos lados de la ecuación y la reduce. Sin embargo, al ver que llega a una expresión que no le permite determinar datos numéricos, replantea la expresión inicial.

Figura 11: Resolución de la tarea 5 por el maestro en formación E21.

Fuente: datos de la investigación.

En su segundo planteamiento, la ecuación es correcta, (A-4)(L-4)=300, y sustituye L=2A. Sin embargo, no realiza correctamente la multiplicación de los dos binomios. Desde el análisis previo de esta tarea se estableció que promovía un nivel de algebrización 3, sin embargo, la actividad puesta de manifiesto por el futuro maestro no logró dicho nivel. El trabajo simbólico adelantado presenta inconsistencias y no se llegó a una solución congruente a la situación planteada.

La tarea 6 también fue planteada para indagar sobre el conocimiento avanzado. Los resultados expuestos en la tabla 7 ponen de manifiesto la dificultad de la tarea, se aprecia que cinco maestros en formación respondieron correctamente al proporcionar un procedimiento coherente. Particularmente dos soluciones fueron consideradas parcialmente correctas, pues evidenciaron un procedimiento que llevó a un resultado aproximado.

De la tabla 7 también se desprende que los elementos matemáticos utilizados son de carácter aritmético. El análisis de estas tareas muestra que las resoluciones por parte de los futuros maestros no muestran conexiones con conocimientos más avanzados. En la figura 12 se ilustra el procedimiento del maestro en formación E30, actividad matemática en la que se manifestó el uso del álgebra.

Figura 12: Resolución de la tarea 6 por el maestro en formación E30.

Fuente: datos de la investigación.

En la resolución del maestro en formación se aprecia que con la expresión x=1ó intenta denotar que uno de los trenes x, solo tiene vagones de 1ó asientos. Por otro lado, con la expresión 8x=128 intenta traducir la frase: el tren con vagones de 1ó asientos tendrá 8 vagones más que el otro tren. Parece que el estudiante para maestro entiende el problema, pero se le dificulta traducirlo en una notación algebraica y deja incompleta la tarea. La orientación adecuada de esta tarea implicaría un nivel 3 de algebrización de acuerdo con el análisis a priori realizado previamente.

El análisis de estas tareas muestra que las resoluciones por parte de los futuros maestros no muestran conexiones con conocimientos más avanzados. Muchas de sus dificultades se remontan a la limitada comprensión de los números y las operaciones, mientras que otros errores son causados por no traducir correctamente el problema verbal a su interpretación simbólica-literal.