Menudeando o porcionando: del pedacito de queso a la comprensión de fracciones

Fase etnográfica

Las personas que participaron en la investigación, todos residentes en la ciudad de Barranquilla y cuyo oficio es ser tenderos de barrio, presentan las siguientes características generales: Jorge, con 30 años de experiencia, cuya tienda se encuentra en el barrio La Luz; Chechy, con 35 años de experiencia, cuya tienda está ubicada en el barrio Costa Hermosa; Nubia, con 11 años de experiencia, y Antonio, con ocho años de experiencia, cuyas tiendas están situadas en el barrio 7 de Abril.

Para llevar a cabo la fase etnográfica, se procedió a visitar a los tenderos seleccionados en sus lugares de trabajo. Allí se realizaron cuatro trabajos de campo, uno con cada tendero. Las principales preguntas de la entrevista fueron: ¿cómo aprendió el oficio de tendero?, ¿cuántos años de experiencia tiene?, ¿cómo realiza el proceso de partición y menudeo del queso para su venta? En el último trabajo de campo, se entrevistó a un tendero con un “queso redondo” (base circular), a diferencia de los tres primeros entrevistados, cuyos quesos eran “cuadrados” (base cuadrada).

Para el análisis de las entrevistas de los tenderos del barrio, se utilizó el enfoque propuesto por Braun y Clarke (2006). Específicamente, se siguieron las siguientes etapas:

1. Familiarización con los datos: se transcribieron las grabaciones de las entrevistas, registradas en un teléfono celular, a texto utilizando una planilla de OneNote.

2. Generación inicial de códigos: se identificaron palabras o frases (códigos) que permitieran agrupar las palabras clave mencionadas por los entrevistados, resaltándolas con distintos colores.

3. Búsqueda de temas: se realizó una triangulación sobre las expresiones o palabras utilizadas por los comerciantes al momento de cortar el queso en las entrevistas y algunas nociones de fracciones. Por ejemplo, las palabras menudear, calcular, dividir, porcionar, entre otras, fueron asociadas a la categoría “representación de fracciones” y agrupadas en ella.

4. Revisión de temas: se identificaron los saberes y conocimientos matemáticos presentes en la venta del queso.

Fase educativa

La fase educativa constituye el momento en el que se reflexionan y problematizan los resultados obtenidos en la fase etnográfica, ya sea a través de grupos focales o en un aula de matemáticas, con el propósito de lograr una enseñanza paralela y comparativa entre el saber matemático comunitario y los conocimientos matemáticos personales estudiados en la fase etnográfica, y el saber escolar que se enseña en las clases de matemáticas. En esta fase, no se trata de que los alumnos aprendan a vender queso; se trata más bien de valorar el saber y conocimientos matemáticos vinculados a dicha actividad y de comprender las conexiones que ellos hacen con el saber matemático escolar. Esto otorga a las matemáticas escolares un componente cultural y una relación con las prácticas del contexto sociocultural de la institución educativa, como planteó D’Ambrosio (2002).

En la fase educativa, se buscaron conexiones entre el saber escolar referido

a las fracciones, los significados de fracción de los estudiantes y los significados de los tenderos sobre partir, fraccionar, fragmentar, dividir, porcionar, menudear y cortar el queso. Los estudiantes que participaron en esta fase, ambos de 12 años y cursando sexto grado, fueron Yuli y Víctor Daniel, pertenecientes a instituciones educativas públicas.

En la figura 2 se presenta una síntesis del diseño y la metodología de la investigación realizada.

Figura 2: Síntesis del diseño y metodología de investigación

Fuente: elaboración propia

Resultados de la fase etnográfica

A continuación, se realizará una descripción del lenguaje, procedimientos y técnicas matemáticas de los tenderos, evidenciados en la práctica del menudeo del queso en tiendas de barrio, y cómo a partir de lo encontrado se llevó a cabo una enseñanza paralela y comparativa de lo que se entiende por el significado o representación de fracciones, en sus interpretaciones como parte-todo, como medida y como operador.

El lenguaje matemático artesanal

Durante la entrevista realizada se observó un lenguaje propio de los tenderos en su práctica (por ejemplo: menudeo, división, corte, porcionar y partición). Este es una representación del saber matemático comunitario; es decir, lo matemático que se da por compartido entre los tenderos. Las técnicas que emplea cada uno, las cuales no hacen parte del saber matemático comunitario, se consideran conocimiento matemático, es decir, lo propio de cada persona. Lo que se evidenció sobre el saber matemático comunitario hace referencia al proceso o acción de convertir pedazos de queso en porciones más pequeñas para su venta, mientras que trozo, pedazo, recortes y porción son el resultado de realizar la acción. La palabra acomodo hace alusión a la ubicación estratégica de los trozos de quesos en la vitrina; regularmente tiene implícitos procesos de suma y resta de porciones. Luego de identificar las expresiones o palabras empleadas por los tenderos del barrio al momento de menudear el queso para su venta, se vincularon a los conceptos matemáticos representados en las fracciones, en este caso las nociones y representaciones de: parte de un todo (dividir el queso en porciones, es decir, de una libra de queso se pueden obtener una porción de media libra y dos porciones de cuatro onzas); una medida (cada porción de queso resultante de la división de un todo tiene un peso expresado en fracciones); y un operador (multiplicación de fracciones para hallar el valor numérico de cada porción de queso).

Además, los tenderos manejan varias formas de queso a los cuales denominan queso cuadrado, queso rectangular y queso redondo, como se puede ver en la figura 3.

Figura 3: Los tres tipos de formas del queso: 1) cuadrado; 2) rectangular; 3) redondo

Fuente: elaboración propia

Proceso y técnicas del menudeo del queso

Al momento de partir cada tipo de queso se evidenció la forma de partición (corte) del queso, en la que se procede a hacer unas líneas imaginarias (semicortes), dos diagonales partiendo desde cada esquina y una horizontal o vertical dependiendo la ubicación del queso, esto con el fin de establecer cuál es la mitad del bloque de queso. En esta técnica, el tendero usa una línea vertical como guía y con la ayuda del cuchillo corta o divide el bloque de queso en dos pedazos semejantes, y así sucesivamente (figura 4).

Figura 4: Proceso y técnicas de partición del queso

Fuente: elaboración propia

Porciones resultantes de la división del queso

Los cortes de queso en el bloque que más realizan los tenderos son los primeros cuatro, que marcan las guías para los siguientes cortes. Es decir, en promedio, un bloque de queso tiene 34 libras (17 kilos) y se corta en cuatro partes iguales, lo que significa que cada 1/4 del bloque tiene aproximadamente 8 libras (4 kilos). Al repetir el proceso nueva mente, se obtiene que cada uno de los trozos resultantes tiene 2 libras (1 kilo). A partir de un pedazo de estos, se pueden obtener los siguientes cortes: una libra, ½ de libra, ¼ de libra, cuatro onzas (oz) y 12 onzas = – de libra. La figura 5 ilustra esta última parte del proceso.

Figura 5: Formas en que se puede dividir una libra de queso

Fuente: elaboración propia

Del mismo modo, se utiliza la suma o resta de estos pedazos o porciones del queso para despachar la cantidad que los clientes desean. Por ejemplo, si un cliente desea doce onzas de queso (– de libra) se puede proceder así: ¼ de libra (cuatro onzas) más ½ libra, lo que sumaría doce onzas. Incluso se puede vender hasta la mitad de cuatro onzas y en algunos casos la mitad de estas, es decir, dos onzas; de este modo se puede evidenciar la fracción como una representación de medida. Como lo afirma Ávila (2006), implica que existe una relación entre una parte y un todo, es decir, relaciones entre medios y cuartos con una unidad de referencia: el kilo o la libra; así, al operar las fracciones se pueden realizar sumas, restas, divisiones y multiplicaciones. Por otra parte, las porciones más pequeñas se van añadiendo a otras porciones restantes para calcular así el peso solicitado por el comprador, como se evidencia en la figura 6.

Figura 6: Proceso de acomodo de fracciones para el cálculo del valor numérico o aproximación al precio

Fuente: elaboración propia

Resultados de la fase educativa

Teniendo en cuenta lo observado durante el proceso de partición y menudeo del queso, se procede al diseño de planes de clases con el objetivo de problematizar lo encontrado en la fase etnográfica.

Para la realización de esta fase educativa, se llevó a cabo un pilotaje de los planes de clases con dos estudiantes de sexto grado, teniendo en cuenta las matemáticas encontradas en la fase etnográfica y lo propuesto por el Ministerio de Educación Nacional de Colombia (MEN) en el 2006, donde se expresa la necesidad de explicar las matemáticas a través del entorno de los estudiantes.

Se hace necesario comenzar por la identificación del conocimiento matemático informal de los estudiantes en relación con las actividades prácticas de su entorno y admitir que el aprendizaje de las matemáticas no es una cuestión relacionada únicamente con aspectos cognitivos, sino que involucra factores de orden afectivo y social, vinculados con contextos de aprendizaje particulares. (p. 47)

Este pilotaje se desarrolló bajo la temática de las fracciones, cuyos propósitos de aprendizaje están establecidos en los Derechos Básicos de Aprendizaje (DBA) del MEN (2016): “Proponer y utilizar diferentes procedimientos para realizar operaciones con números enteros y racionales; y justificar diferentes estrategias para resolver problemas con números enteros, racionales (en sus representaciones de fracción) en contextos escolares y extraescolares” (p. 45).

Los resultados del pilotaje arrojaron datos que permitieron mejorar dichos planes de clases por medio de la matriz de aciertos, desaciertos y ajustes, propuesta por Aroca (2022).

El plan de clases estuvo estructurado en cuatro momentos de acciones para las distintas prácticas pedagógicas: exploración, estructuración, práctica escrita y valoración, los cuales se detallarán a continuación.

Momento de exploración

En este momento se exploran los conocimientos previos sobre el objeto de estudio. Es decir, este momento le permite al profesor tener un diagnóstico de los conocimientos de sus estudiantes sobre el tema de investigación. Para ello, se tiene en cuenta lo planteado por el MEN (1998) en los Lineamientos Curriculares, dado que al explorar la realidad de los estudiantes es más fácil “comprender el significado y construir modelos que buscan explicar fragmentos de la realidad a partir de una interacción permanente con el objeto que se está estudiando” (p. 97).

Para lograr lo anterior, se preguntó qué comprensión tienen sobre las fracciones y sus operaciones como suma, resta, multiplicación y división. Luego se proyectó un video que mostró en gran parte la fase etnográfica (figura 7). Posteriormente, se preguntó sobre aspectos generales de la venta menudeada del queso.

Figura 7: Momento de exploración. Los estudiantes observan el video del proceso de división del queso

Fuente: elaboración propia

Luego, cada alumno describe la matemática involucrada en los procesos observados, mencionando algunas formas de fraccionar o partir el queso; también expresa conceptos sobre fracciones. Así mismo, a través de entrevistas, uno de los estudiantes responde a la pregunta: “¿En el proceso del menudeo del queso se involucran las fracciones?”: “Sí, cuando los tenderos están menudeando el queso vi que decían media libra, cuatro onzas, una libra y la mitad, cosas que se parecen a lo que vimos en la clase de matemáticas y que cada pedacito de queso tiene un peso y un precio (valor a pagar), si es grande o pequeño”.

Además, los estudiantes tenían conocimientos sobre las fracciones y estos se relacionaron con los videos educativos presentados. También se explicaron de manera general algunas representaciones de las fracciones (como parte de un todo, como una medida y como operadores), para luego ser analizados con más detalle en el momento de exploración. Los datos de esta investigación bien pueden ser interpretados por otros tipos de representaciones de fracciones, como porcentaje, decimal, etc.

Momento de estructuración

En este momento se realiza una conceptualización, enseñanza explícita y modelación con relación al objetivo de aprendizaje; es decir, se lleva a cabo un análisis sobre las interpretaciones mencionadas en el momento anterior, para luego realizar una actividad práctica con la finalidad de generar una enseñanza paralela y comparativa sobre las fracciones.

En palabras de Kieren (1988), en la construcción del número racional, las imágenes en el sentido físico, pictórico o mental tienen un papel muy relevante. La idea de mitad, por ejemplo, está asociada a imágenes de cortar, de simetría e incluso de calcular numéricamente la mitad, para la construcción de la representación del significado del número racional o cantidades expresadas en fracciones. Es necesario contar con imágenes mentales asociadas a algo físico (tangible). Este aspecto tiene un papel potencial al momento de crear estructuras de conocimientos. Un ejemplo claro se encuentra vinculado a las imágenes de cortar y calcular numéricamente la mitad de algo.

Por esta razón, con el propósito de que los estudiantes construyeran significados de las fracciones, se realizó la actividad: “¡Las manos en el queso y el peso en la vista!”. En ella, el estudiante tuvo a su disposición un bloque mediano de queso previamente pesado. Luego, se le pidió que partiera el queso en cuatro partes iguales y empleara la técnica de los tenderos. Inmediatamente después, hizo una estimación de cuánto pesaba cada uno de los cuatro trozos resultantes. Luego, realizó este mismo proceso con uno de los cuatro pedazos que obtuvo del corte anterior; es decir, fraccionó una de las cuatro partes del bloque de queso original en cuatro partes iguales (figura 8).

Figura 8: Estimación del estudiante 1 sobre el peso de fracciones de un bloque de queso

Fuente: elaboración propia (trabajo de campo)

Al estudiante 2 se le presentó un bloque mediano de tres kilos. Se le pidió fraccionar el bloque de queso en dos porciones iguales y que dividiera uno de ellos en cuatro pedazos iguales. Luego, se le solicitó que estableciera qué operación matemática podría realizar para obtener como resultado el total del peso del queso (figura 9).

Figura 9: Estimación del estudiante 2. Cálculo de cuánto pesan las fracciones de queso

Fuente: elaboración propia (trabajo de campo)

Luego se les preguntó a los estudiantes qué opinaban sobre las fracciones y cómo estas se encuentran relacionadas con su diario vivir. Uno de ellos respondió que cuando sus padres los enviaban a la tienda a realizar un mandao, especialmente cuando iban a comprar queso, no imaginaban que al pedir media libra de queso o 1/4 de libra, el tendero debía realizar este tipo de cálculos. La actividad realizada llevó a los estudiantes a cambiar la perspectiva de que solo en la escuela se encuentran las matemáticas; advirtieron que es posible encontrar matemáticas fuera del salón de clases, en un contexto distinto al aula y en situaciones muy cotidianas.

Momento de práctica escrita

Para seguir avanzando en la comprensión de las fracciones por parte de los estudiantes, se presentaron algunas situaciones problema (figuras 8y 9) en las cuales ellos asumían el papel de un tendero en su cotidianidad y debían responder cómo solucionarían estas situaciones.

Al realizar actividades escritas sobre las representaciones de las fracciones de los estudiantes, se evidenciaron dos tipos de soluciones con predominio de la solución numérica, en las que el primer estudiante usó solo la parte numérica, mientras que el segundo estudiante mezcló el método numérico y el método gráfico. Ríos-Cuesta (2021) afirma que los estudiantes se mueven entre las dos representaciones para resolver problemas con fracciones, es decir, una de ellas es de forma gráfica y la otra de manera numérica.

El estudiante 1 (E₁) reconoció las fracciones en su forma numérica, es decir, como un cociente a/b, el cual es definido por Fandiño (2009) como: dada una unidad, dividirla en b partes (iguales, congruentes, que puedan sobreponerse, consideradas en últimas intercambiables) y tomar a. El estudiante realizó una suma de fracciones homogéneas y heterogéneas, entendiendo el significado de unir dos partes y formar así parte de un todo. Además, comprendió que las fracciones se pueden expresar como una suma de medidas.

Por otro lado, el estudiante 2 (E2) realizó la suma de dos fracciones y comprendió que sumar dos fracciones significaba unir partes de un todo, recordando lo realizado en la práctica del menudeo del queso. Se observa que E2 comprende la representación de fracciones como una medida y como operador, ya que, al ser una parte de un todo, cada parte tiene una unidad numérica expresada como un fraccionario, como se puede ver en la figura 10.

Fuente: elaboración propia (trabajo de campo): Figura 10: Respuesta de los estudiantes 1 y 2 a los problemas de suma

También se incluyó un apartado de suma de fracciones, pero para dar solución se necesitaba de otras operaciones además de la suma y de la argumentación sobre el significa do de las fracciones al referirse a una parte de un todo. Al respecto, se observó lo siguiente.

E₁ comprende que las partes de un todo representadas en una libra de queso pueden ser divididas en varias porciones, como en cuatro partes iguales, cuatro porciones de cuatro onzas, también en dos partes iguales, es decir, cada una con media libra. Además, sabe que, al dividir el valor de una libra de queso en dos, es equivalente a la mitad, tanto como medida y precio del queso. También entiende que, al sumar porciones distintas, por ejemplo, media libra y cuatro onzas de libra, dan como resultado doce onzas, es decir, una representación de las fracciones como ½ de libra más ¼ de libra genera 3/4 de libra.

Del mismo modo, E₂ responde de dos formas, con un proceso numérico y otro proceso gráfico, esto para comparar si de ambas maneras le daba el mismo resultado. Comprende que al sumar las partes en las que se dividió el queso puede formar la representación de un todo, es decir, sumando ¼ de libra (cuatro onzas) dos veces forman ½ de libra (media libra), y al sumar dos porciones de media libra, forman el todo, o sea una libra (figura 11).

Figura 11: Respuesta de los estudiantes 1 y 2 a los problemas de suma combinada

Fuente: elaboración propia

El examen escrito también incluía temas de sustracción, multiplicación y división de fracciones. Los estudiantes respondieron sin errores (figura 12).

Figura 12: Respuesta de los estudiantes 1 y 2 a los problemas de resta de fracciones

Fuente: elaboración propia

En todos los casos que se presentaron sumas de fracciones, E₁ y E₂ resolvieron las actividades, pero al presentarse una resta, una multiplicación o una división se evidenciaron dificultades. Al respecto, Llinares y Sánchez (1997) afirmaron que la necesidad de manejar con soltura las fracciones en la vida ordinaria se limita a las mitades, tercios, cuartos, doceavos, etc. La resta de fracciones se presenta raramente, y la división no aparece casi nunca. Es por esta razón que se realizaron actividades escritas en las que se incluyeron actividades con las operaciones mencionadas anteriormente.

Debido a lo anterior, al momento en que E₁ realizó la resta de fracciones, este ejecutó la operación entendiendo que al realizarla le está quitando ¼ (cuatro onzas) de la libra de queso, apoyándose en uno de los videos educativos sobre el menudeo del queso. Mientras que E₂ comprendió que quitarle o restarle algo a un todo (en este caso, a una libra de queso) significa dividir esa parte de un todo y obtener una parte más pequeña, que fue lo que realizó en las operaciones. El estudiante procedió a restar ¼ de libra de queso, que equivale a quitar una de las cuatro partes del todo, y ello se evidencia al realizar una representación, además de realizar el procedimiento de resta de fracciones homogéneas. Asimismo, concluyó y dio respuestas a las preguntas, en las que afirmó que la mitad de una libra es ½ de libra y la mitad de esta es ¼ de libra (cuatro onzas).

Al realizar multiplicaciones de fracciones, los alumnos lograron comprender las fracciones como una medida y como operador, dado que al multiplicar el valor del producto (el queso) se logra conocer tanto el peso como el valor correspondiente en dinero (figura 13).

Figura 13: Respuesta de los estudiantes 1 y 2 a los problemas de multiplicación de fracciones

Fuente: elaboración propia

El estudiante realiza una suma total de los gramos, luego identifica que media libra (1/2) más cuatro onzas (1/4) suman doce onzas (3/4) de queso; con estos datos realiza una multiplicación de fracciones para determinar la cantidad de queso, en gramos, que se comió Armando. Luego procede a restar esa cantidad a la suma de los gramos que encontró inicialmente, para determinar así los gramos que quedan del queso.

El estudiante realiza la operación con multiplicación de fracciones, ejecutando primero una suma total de los gramos, para luego realizar una multiplicación y determinar los 3/4 de la cantidad de queso que Armando se había comido, y restarles a 2800 g los 2100 g para determinar la cantidad de queso restante, que fueron 700 g. Además, aclara que esto es una libra y algo más de queso.

En el último punto de la evaluación, los estudiantes aplicaron diversas maneras de solucionar la división (figura 14).

Figura 14: Respuesta de los estudiantes 1 y 2 a los problemas de división de fracciones

Fuente: elaboración propia

E₁ tiene conocimientos de división de fracciones aplicando la ley de extremos y medios, con la cual obtiene una fracción con un resultado exacto; esto le facilita la división y también hallar la respuesta al problema. E₂ realizó el procedimiento de manera distinta a E₁, pues utiliza la fracción inversa y luego procede a simplificar o dividir el resultado para obtener la solución.

Se esperaba que comprendieran el significado de las fracciones como una arte de un todo, como una medida y como operador, vinculándolos con el proceso del menudeo del queso usado por los tenderos del barrio, lo que se evidenció en la realización del examen y en el cambio del discurso. En la actividad realizada por los estudiantes se demuestra lo planteado por Fandiño (2009) y por Llinares y Sánchez (1997), quienes afirman que sería mejor vincular el proceso de dividir en partes iguales o congruentes un objeto palpable a una situación real y existente, debido al componente abstracto que este tiene.

Momento de trasferencia y valoración

Los estudiantes reconocieron que las actividades fueron muy diferentes a las clases de matemáticas en la escuela y que les habían motivado mucho. Se evidenció que los estudiantes respondieron correctamente a las pruebas escritas. Del mismo modo, los estudiantes comprendieron que las matemáticas sí pueden existir en un contexto fuera del aula de matemáticas. Se evidenció que los estudiantes aprendieron de una forma diferente; esto se reflejó en la entrevista en dos de sus preguntas: ¿qué les parecieron las actividades? y ¿qué aportes piensan que harán a su conocimiento matemático en la vida?

E₁: Bacana, porque no sabía que el señor de la tienda sabía sobre fracciones. Ahora ya sé que cuatro onzas es la mitad de la mitad de la libra; y cuando mi mamá me mande a comprar queso o arroz y guineo verde voy a saber por qué es más poquito y más.

Así mismo, al preguntarle a E₂ “¿Dónde más puedes aplicar lo aprendido en el menudeo del queso en tu vida cotidiana?”, respondió lo siguiente:

E₂: Cuando voy a compartir algo con mi hermanito para sacar la mitad usando las líneas imaginarias y así cortar las cosas por la mitad para ser igualita, así como un pan de quinientos y yo cojo el más grande porque soy más grande y también cuando voy a hacer una arepita para que mi mamá la cocine, una bolita de masa pequeña da una arepa pequeña con queso (el niño trata de decir que por cada porción de masa se agrega queso).